а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 3 и 2.
См. рисунок.
а)Рассмотрим треугольник POQ.
Прямая, соединяющая центры касающихся окружностей проходит через точку касания.
АВ- линия центров окружностей, касающихся внутренним образом, проходит через точки О и Q.
AB=2R; CD=2r ⇒ OQ=R-r.
РО=R-x
PQ=x+r.
Р(Δ PQO)=PQ+QO+PO=R-x+R-r+x+r=2R
б)Рассматриваем два прямоугольных треугольника.
МРО и МРQ.
М- точка касания третьей окружности с линией центров первых двух.
Значит РМ⊥АВ.
Находим МО по теореме Пифагора из Δ МРО:
МО^2=PO^2-PM^2=(R-x)^2-x^2 ⇒
МО= sqrt((R-x)^2-x^2)
Находим МО по теореме Пифагора из Δ МРО:
МQ^2=PQ^2-PM^2=(r+x)^2-x^2 ⇒
МQ= sqrt((r+x)^2-x^2)
Так как MQ=MO+OQ, приравнивая получаем иррациональное уравнение:
sqrt((r+x)^2-x^2)=sqrt((R-x)^2-x^2)+ (R-r).
При R=3; r=2
sqrt((2+x)^2-x^2)=sqrt((3-x)^2-x^2)+ 1.
Возводим в квадрат.
(2+x)^2-x^2=(3-x)^2-x^2+2sqrt((3-x)^2-x^2)+1;
2sqrt((3-x)^2-x^2)=10х-6;
sqrt((3-x)^2-x^2)=5х-3.
Возводим в квадрат.
(3-х)^2-x^2=25x^2-30x+9;
25x^2-24x=0
x=0,96 или х=0- не удовл. условию задачи
О т в е т. 0,96