Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 10508 Две окружности касаются внутренним...

Условие

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 3 и 2.

математика 10-11 класс 18913

Решение

Обозначим центр большой окружности О, её радиус R. Центр окружности, касающейся большой окружности внутренним образом Q, радиус r,центр третьей окружности, касающейся этих двух Р, радиус х.
См. рисунок.
а)Рассмотрим треугольник POQ.
Прямая, соединяющая центры касающихся окружностей проходит через точку касания.
АВ- линия центров окружностей, касающихся внутренним образом, проходит через точки О и Q.
AB=2R; CD=2r ⇒ OQ=R-r.
РО=R-x
PQ=x+r.
Р(Δ PQO)=PQ+QO+PO=R-x+R-r+x+r=2R


б)Рассматриваем два прямоугольных треугольника.
МРО и МРQ.
М- точка касания третьей окружности с линией центров первых двух.
Значит РМ⊥АВ.
Находим МО по теореме Пифагора из Δ МРО:
МО^2=PO^2-PM^2=(R-x)^2-x^2 ⇒
МО= sqrt((R-x)^2-x^2)
Находим МО по теореме Пифагора из Δ МРО:
МQ^2=PQ^2-PM^2=(r+x)^2-x^2 ⇒
МQ= sqrt((r+x)^2-x^2)
Так как MQ=MO+OQ, приравнивая получаем иррациональное уравнение:
sqrt((r+x)^2-x^2)=sqrt((R-x)^2-x^2)+ (R-r).
При R=3; r=2
sqrt((2+x)^2-x^2)=sqrt((3-x)^2-x^2)+ 1.
Возводим в квадрат.
(2+x)^2-x^2=(3-x)^2-x^2+2sqrt((3-x)^2-x^2)+1;
2sqrt((3-x)^2-x^2)=10х-6;
sqrt((3-x)^2-x^2)=5х-3.
Возводим в квадрат.
(3-х)^2-x^2=25x^2-30x+9;
25x^2-24x=0
x=0,96 или х=0- не удовл. условию задачи
О т в е т. 0,96

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК