Задача 10471 Найдите все значения параметра а, при...
Условие
system{cos(cosx)-cosy = (a^2+1)*(y-cosx); 2y^2-(3a-8)*cosx+a^2-4a = 0}
Решение
сost-cosy=(a^2+1)*(y-t)
так как с одной стороны
(f(b)-f(a))/(b-a)=f`(c),
с ∈[a;b]
С другой стороны
(f(b)-f(a))/(b-a) =tg альфа, где альфа угол наклона касательной в точке с
при f(z)=cosz и (cosz)`=-sinz
уравнение примет вид
sinc=a^2+1
Так как a^2+1 > 1 при всех а, кроме 0,
при а =0 sinc =1 ⇒ c=(π/2)+2πk, k∈Z
возможные корни первого уравнения, при этом
cosc=0
и второе уравнение принимает вид:
2y^2=0 ⇒ y=0
Итак, при а=0 уравнение имеет корни.
Первое уравнение имеет корни и при y-t=0 или
при у-cosx=0
Подставим у=cosx во второе уравнение.
Уравнение принимает вид
2y^2-(3a-8)y+a^2-4a=0
D=(3a-8)^2-4*2*(a^2-4a)=
=9a^2-48a+64-8a^2+32a=
=a^2-16a+64=(a-8)^2
y_(1)=(3a-8-a+8)/4=a/2 или y_(2)=(3a-8+a-8)/4=a-4
cosx=a/2 или cosx=a-4
Уравнения имеют корни
1) при |a/2| меньше или равно 1 ⇒
|а| меньше или равно 2.
2) при |a-4| меньше или равно 1 ⇒
3 меньше или равно a меньше или равно 5
Уравнение имеет хотя бы один корень при х∈[-2;5]
a=0 принадлежит этому отрезку.
О т в е т. Система уравнений не имеет корней при
х∈(-бесконечность;-2)U(5;+бесконечность).