Задача 10438 Упростить (2x^4-3x^2y^3+y^6)/(4x^4-8x^2y^3+3y^3)...

SOVA

09.10.2016

Упростить
(2x^4-3x^2y^3+y^6)/(4x^4-8x^2y^3+3y^3)

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Многочлен
2x^4-3x^2y^3+y^6
можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно любого входящего в него переменного.
2(х^2)^2-(3y^3)x^2+y^6
Это квадратный трехчлен вида
at^2+bt+c,где
a=2; b=-(3y^3); c=y^6.
t=x^2; t^2=(x^2)^2.
Из теоремы Виета известно разложение квадратного трехчлена на множители
at^2+bt+c=a(t-t_(1))(t-t_(2))

Разложим 2(х^2)^2-(3y^3)x^2+y^6 на множители.
D=(-3y^3)^2-4•2•y^6=9y^6-8y^6=y^6=(y^3)^2.
Корни
x^2=(3y^3-y^3)/4=y^3/2 или х^2=(3y^3+y^3)/4=y^3.
2(х^2)^2-(3y^3)x^2+y^6 =2•(x^2-(y^3/2))•(x^2-y^3)=(2x^2-y^3)•(x^2-y^3).

Аналогично.
4x^4-8x^2y^3+3y^3=4•(x^2-(y^3/2))•(x^2-(3y^3/2))=(2x^2-y^3)•(2x^2-3y^3).
D=(-8y^3)^2-4•4•3y^3=64y^6-48y^6=16y^3=(4y^3)^2.
Корни:
x^2=(8y^3-4y^3)/8=y^3/2; x^2=(8y^3+4y^3)/8=3y^3/2.
О т в е т.
(2x^4-3x^2y^3+y^6)/(4x^4-8x^2y^3+3y^3) =(2x^2-y^3)•(x^2-y^3)/(2x^2-y^3)•(2x^2-3y^3)=(х^2-y^3)/(2x^2-3y^3).


Ответ: О т в е т. (2x^4-3x^2y^3+y^6)/(4x^4-8x^2y^3+3y^3) =(2x^2-y^3)•(x^2-y^3)/(2x^2-y^3)•(2x^2-3y^3)=(х^2-y^3)/(2x^2-3y^3).