Задача 10419 Решить log(|sinx|)(x^2-14x+73) >...
Условие
Решение
log_(5)|sinx|=1/log_(|sinx|)5.
Неравенство принимает вид:
log_(|sinx|)(x^2-14x+73) > 2log_(|sinx|)5
или
log_(|sinx|)(x^2-14x+73) > log_(|sinx|)5^2.
Применяя метод рационализации логарифмических неравенств получим систему неравенств:
{x^2-14x+73 > 0;
{|sinx|≠ 1;
{(|sinx|-1)(x^2-14x+73-25) > 0
x^2-14x+73=0
D=(-14)^2-4•73 < 0
Неравенство x^2-14x+73 > 0 верно при любом х.
х^2-14x+73-25=0
х^2-14x+48=0
D=(-14)^2-4•48=196-192=4
x=(14-2)/2=6 или х=(14+2)/2=8
|sinx| = 1 ⇒ sinx = - 1 или sinx = 1
x=(±π/2)+2πk, k∈Z.
Так как неравенство |sinx|-1 > 0 не имеет решений, то
неравенство (|sinx|-1)(x^2-14x+73-25) > 0 равносильно системе
{(|sinx|-1) < 0;
{(x^2-14x+73-25) < 0.
|sinx| < 1 при всех х, кроме х=(±π/2)+2πk, k∈Z.
О т в е т. (6; (π/2)+2π)U((π/2)+2π;8)