Задача 10417 При каком n ...

Vokil1@yandex.r

07.10.2016

При каком n (4^3+1)(5^3+1)...(n^3+1)-(4^3-1)(5^3-1)...(n^3-1) кратно 200

SOVA

07.10.2016

★

4^3+1=(4+1)(4^2-4+1)=5•13- кратно 5
(5^3+1)=(5+1)(5^2-5+1)=6•21- кратно 2
...
(9^3+1)=(9+1)(9^2-9+1)=10•73 - кратно 10

4^3-1=(4-1)(4^2-4+1)=3•13
(5^3-1)=(5-1)(5^2+5+1)=4•26- кратно 8
...
(11^3-1)=(11-1)(11^2+11+1)=10•133 - кратно 10
Поэтому
(4^3+1)(5^3+1)...(11^3+1)–(4^3–1)(5^3–1)...(11^3–1)=
=5•13•6•21•... 10•73•11•91•12•111-
-3•13•4•26•5•...•10•133=5•10•4•(...)- кратно 200
О т в е т. при n=11