Задача 10389 Три грани прямоугольного параллелепипеда...

winter

05.10.2016

Три грани прямоугольного параллелепипеда с общей вершиной покрасили в три цвета: одну грань – в красный, другую – в синий, третью – в белый. Найдите наибольшее значение объема такого параллелепипеда, если сумма площадей красной и синей граней равна 297, а периметр красной грани на 6 меньше периметра белой грани.

SOVA

06.10.2016

★

Пусть красная грань имеет ребра длиной а и с; синяя грань - b и с; белая грань- a и b.
V=abc.
По условию
{ac+bc=297 ⇒c(a+b)=297
{2a+2c+6=2a+2b⇒ c+3=b
Тогда
c(a+c+3)=297⇒ a+c+3=297/c;
a=(297/c)-c-3.

V=abc=((297/c)-c-3)c(c+3)=(297-c^2-3c)(c+3)=
=297c-c^3-3c^2+891-3c^2-9c=
=-c^3-6c^2+288c+891.
Исследуем функцию V(c) на экстремум.
V`(c)=-3c^2-12c+288
V`(c)=0
c^2+4c-96=0
D=4^2-4•(-96)=400
c=(-4+20)/2=8, второй отрицательный корень - не удовл. условию.
При с=8
b=c+3=8+3=11
c(a+c+3)=297
8(a+11)=297 ⇒ a+11=297/8=
a+11=37,125
a=26,125

V=26,125•11•8=2299
О т в е т. 2299 куб. ед