Задача 10362 Прямая, параллельная основанием BC и AD...

natusa

04.10.2016

Прямая, параллельная основанием BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N. Диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. Прямая MN пересекает стороны ОА и ОD треугольника ОАD в точках К и L соответственно. Известно что МК = NL. Найдите MN, если известно что ВС=10, АD=18 и МК:KL= 1:2

SOVA

05.10.2016

★

1)
Δ ВОС ~ Δ AOD ( по двум углам, отмечены на рисунке- это внутренние накрст лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущих АС и BD).
AO:OC=10:18 ⇒ OC=1,8AO
AC=AO+OC=2,8AO

2) Пусть МК=LN=х, KL=2x. MK:KL=x:2x=1:2.

3)Δ AОD ~ Δ KOL ( MN || AD)
OK:AO=KL:AD ⇒ OK=AO•2x/18=AO•x/9.

AK=AO-OK=AO•(1-(x/9))=AO•(9-x)/9.

4)Δ AMK ~ Δ ABC ( MN|| BC)
MK:BC=AK:AC ⇒ x:10 = (AO•(9-x)/9):2,8•AO
9•2,8•х=10(9-х);
35,2х=90
x=225/88.

5) MN=MK+KL+LN=x+2x+x=4x=4•(225/88)=225/22=
=10целых 5/22.
О т в е т. 10 целых 5/22.