Задача 10269 ...

Foxing6

30.09.2016

а) Решите уравнение cos(2x–3П/2)=sqrt(2)sinx
б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку [–3π;–3π/2]

SOVA

30.09.2016

★

cos(2x–3π/2)=cos(3π/2-2x) в силу четности косинуса.
По формулам приведения
cos(3π/2-2x)=-sin2x.
Уравнение принимает вид:
-sin2x=√2sinx
или
2sinxcosx+√2sinx=0
sinx(2cosx+√2)=0
sinx=0 или 2cosx+√2=0
x=πk, k∈Z cosx=-√2/2
x=±arccos(-√2/2)+ 2πn, n∈Z
x=±(π-arccos(2/2))+ 2πn, n∈Z
x=±(3π/4)+ 2πn, n∈Z
a) О т в е т. πk, k∈Z; ±(3π/4)+ 2πn, n∈Z.
б) чтобы найти корни принадлежащие промежутку, рассмотрим неравенства
1)–3π меньше или равно πk меньше или равно –3π/2 ⇒
-3 меньше или равно k меньше или равно -3/2 ⇒ k=-3 и k=-2
x=-3π ∈[–3π;–3π/2]
x=-2π ∈[–3π;–3π/2]
2) –3π меньше или равно (3π/4)+2πn меньше или равно –3π/2 ⇒
-3 меньше или равно (3/4)+2n меньше или равно -3/2;
-3 целых 3/4 меньше или равно 2n меньше или равно (-3/2)-(3/4)

нет таких n

3)–3π меньше или равно (-3π/4)+2πn меньше или равно –3π/2 ⇒
-3 +(3/4) меньше или равно 2n меньше или равно -3/2+(3/4);
-(9/4) меньше или равно 2n меньше или равно (-3/4)⇒ n=-1

x=-3π/4-2π=(-11π/4)∈[–3π;–3π/2]

О т в е т. -3π ∈[–3π;–3π/2]; -2π ∈[–3π;–3π/2] и (-11π/4) ∈[–3π;–3π/2].