Задача 10119 В правильной треугольной пирамиде...

slava191

24.09.2016

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно sqrt(13), а апофема равна sqrt(10). Найдите высоту пирамиды.

Апофема - это высота боковой грани. В нашем случае OH. Итак, нам известно: OH = sqrt(10), OA=OB=OC = sqrt(13), в основании лежит равносторонний треугольник. Найти нам надо OO1.

Найдем чему равна сторона основания.

HB^2 = OB^2 - OH^2

HB^2 = 13 - 10 = 3

HB = sqrt(3)

Сторона основания AB = 2HB = 2sqrt(3). Так как треугольник в основании равносторонний AB = AC = BC = 2sqrt(3).

Высота равностороннего треугольника равна h = sqrt(3)*a/2, где a - сторона основания.

h = sqrt(3)*2sqrt(3)/2 = 3

CH = 3.

Точка О спроецируется на прямую CH в точку O1. Длину HO1 можно вычислить как радиус вписанной в треугольник ABC окружности. По формуле r = (1/3)h = (1/3)*3 = 1

HO1 = 1.

Теперь по теореме Пифагора мы можем вычислить OO1.

OO1^2 = OH^2 - HO1^2

OO1^2 = 10 - 1 = 9

OO1 = 3

Ответ: 3