Задача 10079 Найдите все значения параметра а, при...

slava191

23.09.2016

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство |(x^2+x-2a)/(x+a)-1| меньше или равно 2 не имеет решений на интервале (1;2).

SOVA

24.09.2016

★

|((x^2+x–2a)/(x+a))–1| ≤ 2;
|(x^2+x-2a-x-a)/(x+a)|меньше или равно 2;
|(x^2-3a)/(x+a)|меньше или равно 2;
-2 меньше или равно (x^2-3а)/(x+a) меньше или равно 2;
Двойное неравенство равносильно системе двух неравенств
{(x^2-3а)/(x+a) меньше или равно 2;
{(x^2-3а)/(x+a) больше или равно -2.
или
{(x^2-3а-2х-2а)/(x+a) меньше или равно 0;
{(x^2-3а+2х+2а)/(x+a) больше или равно 0.

{(x^2-2х-5а)/(x+a) меньше или равно 0;
{(x^2+2х-а)/(x+a) больше или равно 0.
Рассматриваем два случая:
1)
Если a+x > 0 (неравенство строгое, знаменатель отличен от 0),
то
(x^2+2х-а) больше или равно 0
(х:2-2х-5а) меньше или равно 0
Запишем в виде системы, относительно а
{a > -x;
{a меньше или равно х^2+2x;
{a больше или равно (х^2-2x)/5}.
Изобразим множество решений системы на плоскости хОа.
Множество точек, удовлетворяющих неравенству а > - x, расположено выше прямой а = -х.
Множество точек, удовлетворяющих неравенству a меньше или равно х^2+2x, расположено вне параболы а=х^2+2x;
Множество точек, удовлетворяющих неравенству a больше или равно (х^2-2x)/5, расположено внутри параболы а=(х^2-2x)/5.
Проводим прямые х=1 и х=2. Множество точек внутри полосы удовлетворяет неравенству 1 < x < 2 ( cм. рисунок 1). Этому множеству на оси Оа соответствует множество точек удовлетворяющих неравенству
-1/5 < a < 8.
При а=-1/5 получим х=1 - решение неравенства
При а =8 получим х=2 - решение неравенства
Если а∈(-∞;-1/5 )U(8;+ ∞) решения неравенства не принадлежат (1;2)


2)
Если a+x < 0 (неравенство строгое, знаменатель отличен от 0),
то
(x^2+2х-а) меньше или равно 0
(х^2-2х-5а) больше или равно 0
Запишем в виде системы, относительно а
{a < -x;
{a больше или равно х^2+2x;
{a меньше или равно (х^2-2x)/5}.
Изобразим множество решений системы на плоскости хОа.
Множество точек, удовлетворяющих неравенству а > - x, расположено ниже прямой а = -х.
Множество точек, удовлетворяющих неравенству a меньше или равно х^2+2x, расположено внутри параболы а=х^2+2x;
Множество точек, удовлетворяющих неравенству a больше или равно (х^2-2x)/5, расположено вне
параболы а=(х^2-2x)/5.
Пересечение указанных множеств не содержит интервала (1;2).
См. рисунок 2.
О т в е т. а∈(-∞;-1.5 )U(8;+ ∞)