Профиль пользователя SOVA

9 часов назад

Предложенные решения (1641)

http://reshimvse.com/zadacha.php?id=12846
15.01.2017 лучшее решение
Изображение
15.01.2017 лучшее решение
Изображение
15.01.2017 лучшее решение
А)По теореме Пифагора гипотенуза АВ^2=АС^2+BС^2⇒ АВ=10 Пусть АК=9х, тогда КВ=16х и АВ:КВ=9:16, АВ=25х 25х=10 х=10/25 х=0,4 Значит АК=3,6 КВ=6,4 ( см. рис. ) Найдем СК из треугольника АСК по теореме косинусов: СК^2=AC^2+AK^2-2*AC*AK*cos∠CАК. Так как из прямоугольного треугольника АВС cos∠A=АС/АВ=6/10, то СК^2=6^2+(3,6)^2-2*6*3,6*(6/10)=23,04. СK=4,8 S(Δ АВС)=(АС*ВС)/2 и S(Δ АВС)=(AB*h)/2⇒ АС*ВС=AB*h h=6*8/10=4,8 CK=h и значит СК⊥АВ По теореме о трех перпендикулярах РК⊥АВ. Б) Для нахождения радиусов сфер, вписанных в пирамиды применяем формулу: [b]V(пирамиды)=(1/3)*S(поверхности пирамиды)*r[/b] По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника РСК: РК^2=PC^2+CK^2= =2^2+4,8^2=4+23,04=27,04=5,2^2 PK=5,2 Пирамида РАСК. V(PACK)=(1/3)*S(Δ ACK)*PC=5,76 S(Δ ACK)=AK*CK/2=3,6*4,8/2=8,64; S(Δ APC)=AC*PC/2=6*2/2=6; S(Δ PCK)=PC*CK/2=2*4,8/2=4,8; S(Δ APK)=AK*PK/2=3,6*5,2/2=9,36; S(поверхности)=S(Δ ACK)+S(Δ APC)+S(Δ PCK)+ S(Δ APK)=8,64+6+4,8+9,36=28,8 r_(1)=3V(PACK)/S(поверх. PACK)= =3*5,76/28,8=0,6 Пирамида РВСК. V(PBCK)=(1/3)*S(Δ BCK)*PC=10,24 S(Δ BCK)=BK*CK/2=6,4*4,8/2=15,36; S(Δ BPC)=BC*PC/2=8*2/2=8; S(Δ PCK)=PC*CK/2=2*4,8/2=4,8; S(Δ BPK)=BK*PK/2=6,4*5,2/2=16,64; S(поверхности)=S(Δ BCK)+S(Δ BPC)+S(Δ PCK)+ S(Δ BPK)=15,36+8+4,8+16,64=44,8 r_(2)=3V(PBCK)/S(поверх.PBCK)=3*10,24/44,8=24/35; r_(1):r_(2)=0,6:(24/35)=(6*35)/(10*24)=7/8 О т в е т. Б)7:8.
15.01.2017 лучшее решение
Изображение
15.01.2017 лучшее решение
А) См. рис. 1 Треугольник АМС - равнобедренный, АС=МС=3. Значит, ∠МАС=∠АМС. Пусть ∠МАС=∠АМС=α Тогда ∠ВМС=180 градусов -α. По построению AP⊥BC и АК=КР. Из равенства прямоугольных треугольников АВК и ВРК, следует, что АВ=ВР и ∠ВАР=∠ВРА. Из равенства прямоугольных треугольников АКС и ВКС, следует, что АС=СР и ∠РАС=∠АРС. Значит, ∠ВАС=∠ВАР+∠РАС=∠ВРА+∠РСА=∠ВРС. ∠ВАС=α ⇒∠ВРС=α ∠ВМС+∠ВРС=(180 градусов -α)+α=180 градусов. Сумма противоположных углов четырехугольника ВМСР равна 180 градусов, около четырехугольника можно описать окружность. Б)См. рис. 2 ∠РВС=∠ВМС как углы опирающиеся на одну и ту же дугу РС. Найдем cos ∠РВС по теореме косинусов из треугольника ВРС: ВР=АВ=6; РС=АС=3; ВС=5. РС^2=BC^2+BP^2-2*BC*BP*cos ∠РВС ⇒ cos ∠РВС =(5^2+6^2-3^2)/(2*5*6)=13/15. Из треугольника МРС по теореме косинусов: РС^2=MC^2+MP^2-2*MC*MP*cos ∠РMС cos ∠РMС=cos ∠РВС=13/15. 3^2=3^2+MP^2-2*3*MP*(13/15) MP^2-(26MP/5)=0 MP=26/5=5,2. О т в е т. Б) МР=5,2.
15.01.2017 лучшее решение
Изображение
14.01.2017 лучшее решение
Вклад Паши 100 000:10=10 000 руб. проценты за первый год 100 000 + 10 000 = 110 000 руб сумма вклада к концу первого года хранения. Через год Паша снял n тыс. руб . На начало второго году у Паши (110 000 – n) руб. (110 000-n):100*10=0,1(110 000 –n) - проценты за второй год хранения 1,1(110 000-n) руб.=(121000 -1,1n) руб.- сумма вклада к концу второго срока хранения. После двух лет хранения вклада Паша снова положил n тыс. руб. (121000 -1,1n)+n=(121 000 -0,1n) руб. – сумма вклада к началу третьего года. Проценты за третий год хранения 0,1*(121 000 -0,1n) руб. Cумма вклада к концу третьего года хранения 1,1*(121 000 – 0,1n)=133 100 -0,11n руб. Вклад Саши 100 000:10=10 000 руб. проценты за первый год 100 000 + 10 000 = 110 000 руб сумма вклада к концу первого года хранения 110 000:100•10=11 000 руб – проценты за второй год хранения110 000 + 11 000 = 121 000 руб. – сумма вклада к концу второго срока хранения. 121 000 :100*10=12 100 – проценты за третий год хранения 121 000+12 100=133 100 руб. - сумма вклада к концу третьего года хранения По условию задачи 133 100 руб. – (133 100 -0,11n руб.) не менее 3 000 руб. 0,11n больше или равно 3 000. n больше или равно 27272,72. О т в е т. n=28 000
14.01.2017 лучшее решение
ОДЗ: {x^2≠1; {x-1 > 0; {6-x > 0; {6-x≠1 ОДЗ:х∈(1;5)U(5;6) Перейдем к основанию (х-1) > 0, x-1≠1. Заметим, что при х=2 данное неравенство принимает вид log_(2^2)(2-1)≥ log,(4)(2–1)- верное неравенство, поэтому х=2 является решением данного неравенства. 1/log(x-1)x^2 ≥ 1/log(x–1)(6-x) или (log_(x-1)(6-x)-log_(x-1)x^2)/(log(x-1)x^2 *log(x–1)(6-x)) ≥0 Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки Решение неравенства сводится к совокупности двух систем: 1){(log_(x-1)(6-x))-(log_(x-1)x^2)≥0 {(log(x-1)x^2) *(log(x–1)(6-x)) > 0 или 2)){(log_(x-1)(6-x))-(log_(x-1)x^2)≤0 {(log(x-1)x^2) *(log(x–1)(6-x)) < 0 Решаем систему 1), которая сводится к совокупности двух систем: 1a){log_(x-1)(6-x) ≥ log_(x-1)x^2 {log(x-1)x^2 > 0 {log(x–1)(6-x)) > 0 или 1б){log_(x-1)(6-x) ≥ log_(x-1)x^2 {log(x-1)x^2 < 0 {log(x–1)(6-x)) < 0 Применяем метод рационализации логарифмических неравенств. 1a){(x-1-1)(6-x-x^2)≥ 0 ⇒ (x-2)^2*(x+3)≤0; {(x-1-1)(x^2-1) > 0 ⇒ (x+1)*(x-1)(x-2) > 0; {(x–1-1)(6-x-1) > 0 ⇒ (x-2)*(x-5) < 0; или 1б){(x-1-1)(6-x-x^2)≥ 0 ⇒ (x-2)^2*(x+3)≤0; {(x-1-1)(x^2-1) < 0 ⇒ (x+1)*(x-1)(x-2) < 0; {(x–1-1)(6-x-1) < 0⇒(x-2)*(x-5) > 0. Система 1а) не имеет решений, системы 1б) имеет решение(-бесконечность;-3], которое не принадлежит ОДЗ. Решаем систему 2), которая сводится к совокупности двух систем: 2a){log_(x-1)(6-x) ≤ log_(x-1)x^2 {log(x-1)x^2 > 0 {log(x–1)(6-x)) < 0 или 2б){log_(x-1)(6-x) ≤ log_(x-1)x^2 {log(x-1)x^2 < 0 {log(x–1)(6-x)) > 0 Применяем метод рационализации логарифмических неравенств. Отвт=ет выбираем с учетом найденного ОДЗ. 2a){(x-1-1)(6-x-x^2)≤ 0 ⇒ (x-2)^2*(x+3)≥0; {(x-1-1)(x^2-1) > 0 ⇒ (x+1)*(x-1)(x-2) > 0; {(x–1-1)(6-x-1) < 0 ⇒ (x-2)*(x-5) > 0; или 2б){(x-1-1)(6-x-x^2)≤0 ⇒ (x-2)^2*(x+3)≥0; {(x-1-1)(x^2-1) < 0 ⇒ (x+1)*(x-1)(x-2) < 0; {(x–1-1)(6-x-1) > 0⇒(x-2)*(x-5) < 0. Система 2а) имеет решение [5;бесконечность) с учетом ОДЗ х∈(5;6) Система 2б) не имеет решений. О т в е т. х ∈{2}U(5;6)
14.01.2017 лучшее решение
7^5*7^(-2)=7^(5+(-2))=7^3 7^4/7^3=7^(4-3)=7^1=7
14.01.2017 лучшее решение
Изображение
13.01.2017 лучшее решение
5292 5292*14=74088=42^3
11.01.2017 лучшее решение
Изображение
11.01.2017 лучшее решение
ОДЗ: {x-2 > 0 ⇒ x > 2; {-x^2+6x-8 > 0 ⇒ x∈(2;4); {-x^2+6x-8≠1 ⇒ x≠3 ОДЗ:х∈(2;3)U(3;4) Произведение двух множителей положительно, когда множители одинаковых знаков. Два случая 1) {7-2x больше или равно 0; {log_(-x^2+6x-8)(x-2) больше или равно 0. или 2) {7-2x меньше или равно 0; {log_(-x^2+6x-8)(x-2) меньше или равно 0. Решаем 1) {7-2x больше или равно 0; {log_(-x^2+6x-8)(x-2) больше или равно log_(-x^2+6x-8)1. Применяем метод рационализации логарифмических неравенств {-2x больше или равно -7; {(-x^2+6x-8-1)(x-2-1) больше или равно 0. {x меньше или равно 3,5; {(x-3)^3 меньше или равно 0. о т в е т 1) х меньше или равно 3 Решаем 2) {7-2x меньше или равно 0; {log_(-x^2+6x-8)(x-2) меньше или равно log_(-x^2+6x-8)1. Применяем метод рационализации логарифмических неравенств {-2x меньше или равно -7; {(-x^2+6x-8-1)(x-2-1) меньше или равно 0. {x больше или равно 3,5; {(x-3)^3 больше или равно 0. о т в е т 2) x больше или равно 3,5 С учетом ОДЗ получаем О т в е т. (2;3)U[3,5;4)
11.01.2017 лучшее решение
Изображение
11.01.2017 лучшее решение
http://reshimvse.com/zadacha.php?id=12718
10.01.2017 лучшее решение
Пусть ХА=УС=АС=а. Δ ХАС – равнобедренный, ∠АХС=∠АСХ. Обозначим ∠АХС=∠АСХ=α. Δ АСУ – равнобедренный, ∠САУ=∠СУА. Обозначим∠САУ=∠СУА=β.(см. рис. 1) Так как внешний угол треугольника равен сумме внутренних с ним не смежных, в треугольнике АВС: ∠ВАС=2α, ∠ВСА=2β. Проведем биссектрисы угла А и С треугольника АВС, они пересекаются в точке Т. АТСZ– параллелограмм. ( см. рис.2) AT||CX и СT || AY ( внутренние накрест лежащие углы равны). Диагональ АС параллелограмма АТСZ делит его на два равных треугольника: ΔАTС =Δ ACZ. Проведем TK ⊥ AC СК=АН=2 Кроме того, так как T – центр вписанной в треугольник АВС окружности, то отрезки касательных проведенных из одной точки равны.( см. рис. 3) Значит отрезки касательных, проведенных из точки В равны BC–2=4–2=2 Отрезки касательных проведенных от точки А тоже равны. 5-2=3 Значит АК=3 АС=АК+КС=3+2=5 СН=5–2=3 О т в е т. 3
10.01.2017 лучшее решение
http://reshimvse.com/zadacha.php?id=12726
10.01.2017 лучшее решение
2. а)верное, так как пл. ВСМ проходит через МС- перпендикуляр к плоскости АВС. б)верное, расстояние равно ВС, ВС=9 В прямоугольном треугольнике катет ВС, лежащий против угла в 30 градусов равен половинегипотенузы АВ. в) неверное, Надо провести перпендикуляр МК из точки М на прямую АВ. г) нет, чтобы построить линейный угол двугранного угла между плоскостями, надо к прямой АС,по которой пересекаются указанные плоскости, провести перпендикуляры. ВС⊥АС и МС⊥АС ∠ВСМ- линейный угол двугранного угла между указанными плоскостями. ∠ВСМ=90 градусов и косинус 90 градусов не равен 0,75. 3. Проводим диагональ основания TN. Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам, то ТО⊥PM TN=5sqrt(2) TO=TN/2=5sqrt(2)/2 По теореме о трех перпендикулярах ( ТТ_(1)⊥ пл. основания) Т_(1)О ⊥ РМ. ∠Т_(1)ОТ - линейный угол двугранного угла между указанными плоскостями. tg∠Т_(1)ОТ=TT_(1)/TO=5/(5sqrt(2)/2)=sqrt(2)
10.01.2017 лучшее решение
Проведем все прямые, параллельные одной из диагоналей квадрата и содержащие более одной из отмеченных точек — таких прямых (зеленые прямые на рисунке). в квадрате со стороной 4 - 5 прямых; в квадрате со стороной 6 - 9 прямых; в квадрате со стороной 8 - 13 прямых; ... в квадрате со стороной 104 - 203 прямых. Невычеркнутыми остаются две угловые точки. Их можно вычеркнуть, проведя еще одну прямую — другую диагональ (красного цвета). Тогда в квадрате со стороной 4 - 6 прямых; в квадрате со стороной 6 - 10 прямых; в квадрате со стороной 8 - 14 прямых; ... в квадрате со стороной 104 - 206 прямых. Вообще, в квадрате со стороной n 2*(n-2)+2 прямых. Докажем, что нельзя обойтись меньшим числом прямых. Рассмотрим центры единичных квадратиков, расположенных по периметру большого квадрата. Прямая, не параллельная стороне квадрата, может вычеркнуть не более двух таких точек. О т в е т. 206 прямых.
10.01.2017 лучшее решение
4) 5*|x-2|=0 при х=2 Функция не определена в точке х=2. f(2-0)=lim_(x→2-0)=+бесконечность f(2+0)=lim_(x→2+0)=+бесконечность Функция имеет разрыв второго в точке х=2. 5) |-5*cos3n| меньше или равно 5. Последовательность (-5*cos 3n) - ограниченная. (1/sqrt(n))- бесконечно малая последовательность. (1/sqrt(n))→0 при n→ бесконечность. Произведение бесконечно малой на ограниченную есть последовательность бесконечно малая, т.е lim_(n→ бесконечность)(-5*cos3n)/(sqrt(n))=0 6)1) f(1-0)=lim_(x→1-0)=1/2 f(1+0)=lim_(x→1+0)=1^3/2=1/2 f(1-0)=f(1+0)=f(1)=1/2 Функция непрерывна в точке х=1 7) tgx=sinx/cosx cosx=0 при х=(π/2)+πk, k∈Z Функция не определена в точках х=(π/2)+πk, k∈Z. lim_(x→((π/2)-0)+πk)tgx=+бесконечность lim_(x→((π/2)+0)+πk)tgx=-бесконечность х=(π/2)+πk, k∈Z - точки разрыва второго рода. 8) |-7*cos3n| меньше или равно 7. Последовательность (-7*cos 3n) - ограниченная. (1/sqrt(n))- бесконечно малая последовательность. (1/sqrt(n))→0 при n→ бесконечность. Произведение бесконечно малой на ограниченную есть последовательность бесконечно малая, т.е lim_(n→ бесконечность)(-7*cos3n)/(sqrt(n))=0
10.01.2017 лучшее решение
9x-8x-4 > -8; x > -8+4; x > -4
08.01.2017 лучшее решение
9axy–(–7xya)=9axy+7aху=16аху
08.01.2017 лучшее решение
Метод основан на применении теоремы: Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a,b], то внутри этого отрезка находится, по меньшей мере, один корень уравнения. f(x)=x^3+3x-7 при х=0 f(0)=-7 f(1)=1+3-7=-4 f(2)=8+6-7=7 Итак на концах отрезка [1;2] функция принимает значения разных знаков. См. график на рисунке. Делим отрезок пополам, т. е рассматриваем два отрезка. [1; 1,5] и [1,5;2] f(1,5)=1,875 Значит на концах отрезка [1;1,5] функция принимает значения разных знаков. Делим этот отрезок пополам. f(1,25)=-1,296875 < 0 Значит на концах отрезка [1,25;1,5] функция принимает значения разных знаков. Делим отрезок пополам f(1,375)=-0,275390625 Значит на концах отрезка [1,375;1,5] функция принимает значения разных знаков. Делим отрезок пополам. f(1,4375)=0,2825 Значит на концах отрезка [1,375;1,4375] функция принимает значения разных знаков. и корень уравнения х_(о) удовлетворяет неравенству: 1,375 < x_(o) < 1,4375 x_(0)≈1, 4
08.01.2017 лучшее решение
Проведем все прямые, параллельные одной из диагоналей квадрата и содержащие более одной из отмеченных точек — таких прямых (зеленые прямые на рисунке). в квадрате со стороной 3 – 3 прямых; в квадрате со стороной 5 – 7 прямых; в квадрате со стороной 7 – 11 прямых; ... в квадрате со стороной 105 – прямых. Невычеркнутыми остаются две угловые точки. Их можно вычеркнуть, проведя еще одну прямую — другую диагональ (красного цвета). Тогда в квадрате со стороной 3 – 4 прямых; в квадрате со стороной 5 – 8 прямых; в квадрате со стороной 7 – 12 прямых; ... в квадрате со стороной 105 – 208 прямых. Вообще, в квадрате со стороной n 2·(n–2)+2 прямых. Докажем, что нельзя обойтись меньшим числом прямых. Рассмотрим центры единичных квадратиков, расположенных по периметру большого квадрата. Прямая, не параллельная стороне квадрата, может вычеркнуть не более двух таких точек. О т в е т. 208 прямых
08.01.2017 лучшее решение
Интегрирование по частям: u=arctgx*ln(1+x^2)⇒ du=(ln(1+x^2)+2x*arctgx)dx/(1+x^2); dv=xdx⇒ x^2/2. ∫=(x^2/2)*(arctgx)*ln(1+x^2) - -(1/2)∫x^2*ln(1+x^2)dx /(1+x^2)-∫x^3*arctgxdx/(1+x^2). Считаем сначала ∫x^2*ln(1+x^2)dx /(1+x^2)=[прибавим к x^2 1 и отнимем 1]= ∫ln(1+x^2)dx -∫ln(1+x^2)dx/(1+x^2). Cчитаем ∫ln(1+x^2)dx по частям u=ln(1+x^2) ⇒ du=2xdx/(1+x^2); dv=dx ⇒ v=x. ∫ln(1+x^2)dx=x*ln(1+x^2)-2 ∫x^2dx/(1+x^2) = ==x*ln(1+x^2)-2x+2arctgx. Итак, ∫x^2*ln(1+x^2)dx /(1+x^2)=x*ln(1+x^2)-2x+2arctgx-∫ln(1+x^2)dx/(1+x^2). Последний интеграл не считаем, он впоследствии с таким же интегралом со знаком + даст 0. Считаем второй интеграл. ∫x^3*arctgxdx/(1+x^2)=∫х*arctgxdx-∫x*arctgxdx/(1+x^2). Считаем ∫х*arctgxdx по частям u=arctgx ⇒ du=dx/(1+x^2); dv=xdx ⇒ x^2/2 ∫х*arctgxdx=x^2*arctgx/2-(1/2)*∫x^2dx/(1+x^2)= = x^2*arctgx/2-(1/2)x+(1/2)*arctgx. Cчитаем ∫x*arctgxdx/(1+x^2) по частям. u=arctgx⇒ du=dx/(1+x^2); dv=xdx/(1+x^2)=(1/2)ln(1+x^2) ∫x*arctgxdx/(1+x^2) = (1/2)*arctgx*ln(1+х^2)-(1/2)*∫ln(1+x^2)dx/(1+x^2) Итак, ∫x^3*arctgxdx/(1+x^2)=∫х*arctgxdx-∫x*arctgxdx/(1+x^2)= x^2*arctgx/2-(1/2)x+(1/2)*arctgx- -(1/2)*arctgx*ln(1+х^2)+(1/2)*∫ln(1+x^2)dx/(1+x^2) Снова появился интеграл, о котором было сказано выше. Окончательный ответ. ∫=(x^2/2)*(arctgx)*ln(1+x^2) - -(1/2)∫x^2*ln(1+x^2)dx /(1+x^2)-∫x^3*arctgxdx/(1+x^2)= =(x^2/2)*(arctgx)*ln(1+x^2)- -(1/2)*x*ln(1+x^2)+x-arctgx+(1/2)*∫ln(1+x^2)dx/(1+x^2)-x^2*arctgx/2+(1/2)x-(1/2)*arctgx+ +(1/2)*arctgx*ln(1+х^2)-(1/2)*∫ln(1+x^2)dx/(1+x^2)= (x^2/2)*(arctgx)*ln(1+x^2)- -(1/2)*x*ln(1+x^2)+(3x/2)-(3arctgx/2)-(1/2)*(x^2*arctgx)+(1/2)*arctgx*ln(1+х^2) + С. О т в е т. (x^2/2)*(arctgx)*ln(1+x^2)- -(1/2)*x*ln(1+x^2)+(3x/2)-(3arctgx/2)-(1/2)*(x^2*arctgx)+(1/2)*arctgx*ln(1+х^2) + С.
08.01.2017 лучшее решение
Проведем все прямые, параллельные одной из диагоналей квадрата и содержащие более одной из отмеченных точек — таких прямых (зеленые прямые на рисунке). в квадрате со стороной 4 - 5 прямых; в квадрате со стороной 6 - 9 прямых; в квадрате со стороной 8 - 13 прямых; ... в квадрате со стороной 104 - 203 прямых. Невычеркнутыми остаются две угловые точки. Их можно вычеркнуть, проведя еще одну прямую — другую диагональ (красного цвета). Тогда в квадрате со стороной 4 - 6 прямых; в квадрате со стороной 6 - 10 прямых; в квадрате со стороной 8 - 14 прямых; ... в квадрате со стороной 104 - 206 прямых. Вообще, в квадрате со стороной n 2*(n-2)+2 прямых. Докажем, что нельзя обойтись меньшим числом прямых. Рассмотрим центры единичных квадратиков, расположенных по периметру большого квадрата. Прямая, не параллельная стороне квадрата, может вычеркнуть не более двух таких точек.
07.01.2017 лучшее решение
http://reshimvse.com/zadacha.php?id=10287
07.01.2017 лучшее решение
∛(4*18*81)=∛(8*9*9*9)=2*9=18
06.01.2017 лучшее решение
Изображение
05.01.2017 лучшее решение
Раскрываем модуль. 1) Если х больше или равно 0, то |x|=x, функция принимает вид f(x)=x^3-6x^2+(9+6a-3a^2)x Находим производную f `(x)=3x^2-12x+(9+6a-3a^2) f `(x)=0 3x^2-12x+(9+6a-3a^2)=0 или x^2-4x+(3+2a-a^2)=0 D=(-4)^2-4*(3+2a-a^2)=16-12-8a+4a^2= =4a^2-8a+4=(2a-2)^2 x_(1)=(4-(2a-2))/2 или х_(2)=(4+(2а-2))/2; x_(1)= 3-а или х_(2)=1+a; Находим знак производной на [0;3] a) при 0 < a < 1 1 < a+1 < 2 2 < 3-a < 3 Обе точки принадлежат отрезку [0;3] __+__ (a+1) __-__ (3-a) __+_ a+1 x=a+1 - точка максимума, f(a+1)=(a+1)^3-6*(a+1)^2+(9+6a-3a^2)*(a+1)= =(a+1)*(-2a^2+2a+4) б)если 1 < a < 2, то 2 < a+1 < 3 1 < 3-a < 2 ____ (0) _+__ (3-а) __-__ (а+1) ___+___ x=3-a - точка максимума. f(3-a)=(3-a)^3-6(3-a)^2+(9+6a-3a^2)*(3-a)= =2*(3-a)*(6-a) в)2 < a+1 < 3 3 < a+1 < 4 0 < 3-a < 1 точка х=а+1 не принадлежит отрезку [0;3], [0]__+_ (3-a) _-___ [3]_-_(a+1) x=3-a - точка максимума. г) a > 3, то точки х=a+1 b x=3-a не принадлежат отрезку [0;3] _ (3-a) _-_ [0] _-__ [3] _-_ (a+1) _+__ Функция убывает на [0;3] и потому наибольшее значение функция принимает в нуле. f(0)=0 2) Если х < 0, то |x|= - x, функция принимает вид f(x)=-x^3-6x^2+(3a^2+6a-9)x Находим производную f `(x)= - 3x^2-12x+(3a^2+6a-9) f `(x)=0 -3x^2-12x+(3a^2+6a-9)=0 или x^2+4x+(3-2a-a^2)=0 D=4^2-4*(3-2a-a^2)=16-12+8a+4a^2= =4a^2+8a+4=(2a+2)^2 x_(1)=(-4-(2a+2))/2 или х_(2)=(-4+(2а+2))/2; x_(1)= -3-а или х_(2)= a - 1; Находим знак производной на [-3;0) a) если -1 < a < 0 -2 < a-1 < -1 -3 < -3-a < -2 Точки х=(a-1) и х=(-3-а) принадлежат промежутку [-3;0) __-__ (-3-a) __+__ (a-1) __-_ x=(a-1) - точка максимума. f(a-1)=-(a-1)^3-6*(a-1)^2+(3a^2+6a-9)*(a-1)= =2*(a-1)*(a^2+2a+2)-наибольшее значение функции. б)если -2 < a < -1 то -3 < a-1 < -2; -2 < -3-a < -1 и ___ (-2) _-_ (а-1) _+_ (-3-a) _-_ (-1) _ x=-3-a - точка максимума. f(-3-a)=-(-3-a)^3-6(-3-a)^2+(3a^2+6a-9)*(-3-a)= =2a*(-3-a)*(a+3)- наибольшее значение функции в)если -3 < a < -2 , то -4 < a-1 < -3 то a-1 - не принадлежит промежутку [-3;0), _+__ (-3-a) _-_ [0] х=-3-a - точка максимума Наибольшее значение функции Наибольшее значение функция принимает в нуле. f(-3-a)=2a*(-3-a)*(a+3)- наибольшее значение функции г) если a < -3, то a-1 < -4; 3-a > 0 __+_ (а-1) _-_ [-3] _-__ (0) __-_ (3-a)+ функция убывает на [-3;0) и наибольшее значение принимает при х=-3 f(-3)=-(-3)^3-6*(-3)^2+(3a^2+6a-9)*(-3)= =-9a^2-18a О т в е т. a∈(- ∞; –3) f(–3)=–9a^2–18a - наибольшее значение функции a∈(- 3; –1) f(–3–a)=2a·(–3–a)·(a+3)– наибольшее значение функции a∈(–1; 0) f(a–1)=2·(a–1)·(a2+2a+2)–наибольшее значение функции. a∈(0;1) f(a+1)=(a+1)·(–2a2+2a+4)- наибольшее значение функции a∈(1;3) f(3–a)=2·(3–a)·(6–a)- наибольшее значение функции a∈(3;+ ∞) f(0)=0 - наибольшее значение функции
05.01.2017 лучшее решение
Пусть ХА=УС=АС=а. Δ ХАС - равнобедренный, ∠АХС=∠АСХ. Обозначим ∠АХС=∠АСХ=α. Δ АСУ - равнобедренный, ∠САУ=∠СУА. Обозначим∠САУ=∠СУА=β. (см. рис. 1) Так как внешний угол треугольника равен сумме внутренних с ним не смежных, в треугольнике АВС: ∠ВАС=2α, ∠ВСА=2β. Проведем биссектрисы угла А и С треугольника АВС, пусть они пересекаются в точке Т. АТСZ- параллелограмм. (см. рис. 2) AT||CX и СT || AY ( потому что внутренние накрест лежащие углы равны. Диагональ АС параллелограмма АТСZ делит его на два равных треугольника: ΔАTС =Δ ACZ. Проведем TK ⊥ AC СК=АН=2 Так как T - центр вписанной в треугольник АВС окружности, то отрезки касательных проведенных из одной точки равны. Значит отрезки касательных, проведенных из точки В равны BC-2=6-2=4 Отрезки касательных проведенных от точки А тоже равны. 7-4=3 Значит АК=3 АС=АК+КС=3+4=7 СН=7-4=3 О т в е т. 3
05.01.2017 лучшее решение
Пусть изначально кузнечик находится в точке 0. Каждый прыжок кузнечика равен единичному отрезку. После первого прыжка он может оказаться либо в точке 1, либо в точке -1. Значит существует 2 варианта: 1; -1. Второй прыжок. 1)Из точки 1 кузнечик может прыгнуть либо в 0, либо в 2. 2)Из точки -1 - в точку -2 или 0. Поэтому всего 3 варианта: -2, 0, 2. Третий прыжок 1)Ииз точки -2 кузнечик может попасть либо в -3, либо в -1; из 2)Из точки 0 - либо в 1, либо в -1 3)Из точки 2 - либо в 1, либо в 3. Получаем 4 варианта: -3, -1, 1, 3. Четвертый прыжок. Аналогично рассуждая получаем пять вариантов. -4, -2, 0, 2, 4. Пятый прыжок получаем шесть вариантов: -5, -3, -1, 1, 3, 5. Проанализируем ситуацию. Первый прыжок - два варианта. Второй прыжок - три варианта. Третий прыжок - четыре варианта. Четвертый прыжок - пять вариантов .... Восьмой прыжок - девять вариатов. Все точки , в которых может оказаться кузнечик на k-ом прыжке описываются формулой 2n+k, -k≤n≤0. а их количество соответственно равно k+1. Кузнечик делает 8 прыжков, значит k = 8. Всевозможные точки, в которых может оказаться кузнечик, описываются формулой : 8+2n, -k≤n≤0. Точки, в которых может оказаться кузнечик: -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8. Их количество k+1 = 8+1 = 9. Ответ: 9.
05.01.2017
3^(2+log_(3)7)=3^2*3^(log_(3)7)=9*7=63
04.01.2017 лучшее решение
Изображение
04.01.2017 лучшее решение
О т в е т. 5-ое место
03.01.2017 лучшее решение
1) ОДЗ: x+y > 0 ⇒ y > - x Это часть плоскости, расположенная выше прямой у=-х. x^2+y^2 > 0 при любом х х^2+y^2≠1 - точки, лежащие на окружности с центром (0;0) и радиусом 1. Изображаем окружность пунктирной линией. Так как 1=log_(x^2+y^2)(x^2+y^2), то log_(x^2+y^2)(x+y) > log_(x^2+y^2)(x^2+y^2) Применяя метод рационализации логарифмических неравенств, получаем неравенство: (x^2+y^2-1)*(x+y-x^2-y^2) > 0 Решаем методом интервалов. x^2+y^2-1=0 x^2+y^2=1 - уравнение окружности с центром (0;0) и радиусом R=1. x+y-x^2-y^2=0 (x-(1/2))^2+(y-(1/2))^2=1/2 - уравнение окружности, с центром в точке (1/2; 1/2) и радиусом r=sqrt(1/2). А)Неравенство с учетом ОДЗ задает две области ( розового цвета и зеленого цвета) на плоскости хОу ( см. рис. 1). Б) Площадь этих областей находим, пользуясь формулами планиметрии нахождения площади круга, половины круга, четвертой его части и площади прямоугольного равнобедренного треугольника c катетами, равными R=1 S(желтой четверти круга)=πR^2/4=π/4 S(желтого сегмента)=S(желтой четверти круга)-S(прямоугольного треугольника)=(πR^2/4)-(R*R/2)= =(π/4)-(1/2)=(π-2)/4. S(розовой области )=(1/2)S(круга R=1)-(1/2)S(круга r=sqrt(1/2))-S(желтого сегмента)= =(π/2)-(π/4)-((π-2)/4). S(зеленой области)=(1/2)S(круга r=sqrt(1/2))-S(желтого сегмента)=(π/4)-((π-2)/4). S=S(розовой области)+S(зеленой области)= =(π/2)-(π/4)-((π-2)/4)+ (π/4)-((π-2)/4)= =(π/2)-2*((π-2)/4)=(π/2)-((π-2)/2)=(π-π+2)/2=2/2=1. Б) О т в е т. 1
02.01.2017 лучшее решение
Пусть ХА=УС=АС=а. Δ ХАС - равнобедренный, ∠АХС=∠АСХ. Обозначим ∠АХС=∠АСХ=α. Δ АСУ - равнобедренный, ∠САУ=∠СУА. Обозначим∠САУ=∠СУА=β.(см. рис. 1) Так как внешний угол треугольника равен сумме внутренних с ним не смежных, в треугольнике АВС: ∠ВАС=2α, ∠ВСА=2β. Проведем биссектрисы угла А и С треугольника АВС, они пересекаются в точке Т. АТСZ– параллелограмм. ( см. рис.2) AT||CX и СT || AY ( внутренние накрест лежащие углы равны). Диагональ АС параллелограмма АТСZ делит его на два равных треугольника: ΔАTС =Δ ACZ. Проведем TK ⊥ AC СК=АН=3 Кроме того, так как T – центр вписанной в треугольник АВС окружности, то отрезки касательных проведенных из одной точки равны.( см. рис. 3) Значит отрезки касательных, проведенных из точки В равны BC–2=7–3=4 Отрезки касательных проведенных от точки А тоже равны. 8–4=4 Значит АК=4 АС=АК+КС=4+3=7 СН=7–3=4 О т в е т. 4
01.01.2017 лучшее решение
1=(1/3)^(0). 1-2x=0 -2x=-1 x=1/2
30.12.2016 лучшее решение
Изображение
29.12.2016 лучшее решение
http://reshimvse.com/zadacha.php?id=12581
28.12.2016 лучшее решение
1а) 5-4х-x^2 больше или равно 0 D=36 корни - 5 и 1 О т в е т. [-5;1] 1б) -1 меньше или равно (х+1)/3 меньше или равно 1 -3 меньше или равно (х+1) меньше или равно 3 -4 меньше или равно х меньше или равно 2 О т в е т. [-4;2] 1в) (x^2-1)/(x^2-4x-5) > 0 (x-1)(x+1)/(x+1)(x-5) > 0 x≠-1 и (x-1)/(x-5) > 0 ___+__ (-1) __+__ (1) ___-__ (5) __+_ О т в е т. (-бесконечность;-1)U(-1;1)U(5;+бесконечность) -1 меньше или равно cosx меньше или равно 1 -5,6 меньше или равно 5,6cosх меньше или равно 5,6 E(5,6cosx)=[-5,6;5,6] 2. f(0)=sqrt(1-4*0)=sqrt(1)=1; f(1/2)=sqrt(1-4*(1/2)^2)=sqrt(0)=0;f(1/x)=sqrt(1-(4/x^2))=sqrt((x^2-4)/x^2); f(x-0,5)=sqrt(1-4*(x-0,5)^2)=sqrt(1-4*(x^2-x+0,25))= =sqrt(1-4x^2+4x-1)=sqrt(4x-4x^2)=2sqrt(x-x^2). f(0,5sinx)=sqrt(1-4*(0,5sinx)^2)=sqrt(1-4*0,25sin^2x)=sqrt(1-sin^2x) f(0)=sqrt(1-0)=1 sqrt(1-sin^2x)=1 или 1-sin^2x=1 sin^2x=0 x=πk, k∈Z 3. Если 4х-2 больше или равно 0, то |4x-2|=4x-2 f(x)=x^2-(4x-2)+2 f(x)=x^2-4x+4 на [1/2;+бесконечность) если 4х-2 < 0 , то |4x-2|=2-4x f(x)=x^2-(2-4x)+2 f(x)=x^2+4x на(-бесконечность;1/2) на(-бесконечность;1/2) f(x)=0 значит x^2+4x=0 x=0; х=-4 нa[1/2;+бесконечность) f(x)=0 значит x^2-4x+4=0 х=2 О т в е т. -4;0;2 4. см. рисунки (1-4) соответственно. 5. перепишем уравнение в виде sinx=1-x Строим графики функций у= sinx и у=1-х. cм. рисунок 5 х≈0,5 6. а) непосредственная подстановка приводит к неопределенности 0/0. Раскладываем и числитель и знаменатель на множители 3x^2+10x+8=(x+2)(3x+4) x^3+7x^2+10x=x*(x+2)*(x+5) сокращаем и числитель и знаменатель на (х+2). О т в е т. 1/3 6. б)а) непосредственная подстановка приводит к неопределенности ∞/∞. Делим почленно на х^4 и числитель и знаменатель. О т в е т. 1 6в) непосредственная подстановка приводит к неопределенности 1^(∞). Применяем второй замечательный предел. lim(x→∞)(1-(2/(х+1)))^((x+1)/-2)=e О т в е т. e^(lim(x→∞)(-2*(x+2)/(x+1))=e^(-2). 6 д) Освобождаемся от иррациональности. (sqrt(x^2+2x+2)-x)*(sqrt(x^2+2x+2)+x)/(sqrt(x^2+2x+2)+x)= =(x^2+2x+2-x^2)/(sqrt(x^2+2x+2)+x)= =(2x+2)/(sqrt(x^2+2x+2)+x) Непосредственная подстановка приводит к неопределенности ∞/∞. Делим почленно на х и числитель и знаменатель. О т в е т. 2/(1+1)=1 7. f(0)=sqrt(0)=0 lim(x→-0)f(x)=lim(x→-0)(2x-x^2+3)=3 lim(x→+0)f(x)=lim(x→+0)sqrt(x)=0 x=0- точка разрыва первого рода. Скачок функции равен 0-3=-3 f(4)=sqrt(4)=2 lim(x→-4)f(x)=lim(x→-4)sqrt(x)=2 lim(x→+4)f(x)=lim(x→+4)(1/(x-4))=+∞ x=4- точка разрыва второго рода. Прямая х=4 - вертикальная асимптота. f(5)=lim(x→-5)f(x)=lim(x→+5)f(x)=1/(5-4)=1 x=5- точка непрерывности. График см. рис.6.
25.12.2016 лучшее решение
f(–1)=2*(-1)+3=1 f(–0,5)=2*(-0,5)+3=2 f(0)=0^2=0
25.12.2016 лучшее решение
cos ((π /2)+a)·tg (π +a)= =-sina*tga=-sin^2a/cosa
24.12.2016 лучшее решение
Изображение
24.12.2016 лучшее решение
1. a) y`=4x-5 y` > 0 4x-5 > 0 x > 5/4 на (5/4; + бесконечность] функция возрастает. y` < 0 4x-5 < 0 x < 5/4 на(- бесконечность; 5/4) убывает б) Область определения : x больше или равно 0, х∈[-4;+бесконечность) y`=-1/2sqrt(x+4)*(x+4)`=-1/sqrt(x+4) y` < 0 при любом х∈(-4;+бесконечность) функция убывает на (-4;+бесконечность) 2.y`=4x^3-12x^2 y`=0 4x^3-12x^2=0 4x^2*(x-3)=0 x=0; x=3 ___-__ (0) ___-___ (3 ) __+__ x=3 - точкa минимума, производная меняет знак с - на + y(0)=20 у(3)=3^4-4*3^3+20=81-108+20=-7 3. у`=3x^2+6x y`=0 3x^2+6x=0 3x*(x+2)=0 x=0 x=-2 __+___ (-2) __-__ (0) ___+__ x=-2 - точка максимума у(-2)=(-2)^3+3*(-2)^2-4=-8+12-4=0 x=0- точка минимума у(0)=-4 на (- бесконечность; -2) функция возрастает, на (-2;0) убывает, на (0; + бесконечность) возрастает. y``=6x+6 y``=0 x=-1 ___-__ (-1) __+__ на (- бесконечность; -1) функция выпукла вниз, на (-1; + бесконечность) - вверх. График на рисунке. Точки пересечения с осью Ох: x^3+3x^2-4=0 (x^3-1)+(3x^2-3)=0 (x-1)*(x^2+x+1)+3(x-1)(x+1)=0 (x-1)*(x^2+x+1+3x+3)=0 (x-1)*(x^2+4x+4)=0 (x-1)(x+2)^2=0 x=-2 или x=1 (-2;0) (1;0) 4. у=1-(9/x^2)=(x^2-9)/x^2 y`=0 x^2-9=0 х=-3 или х=3 -3∉[1;4] [1]__-__ (3) _+__ [4] x=3- точка минимума у(3)=3+(9/3)3+3=6- наименьшее значение функции на [1;4] у(1)=1+9=10 у(4)=4+(9/4)=25/4=6,25 у=10 - наибольшее значение функции на [1;4]
23.12.2016 лучшее решение
1) S=MS*NQ MS=S(MNRS)/NQ=99/9=11 Проводим МК ⊥ NR MK||NQ MK=9 По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MKR KR^2=15^2-9^2=225-81=144 KR=12 KN=KR-NR=12-11=1 По теореме Пифагора MN^2=MK^2+KN^2=1+9^2=81 MN=sqrt(82) 2)LF|| MK LF=MK Треугольник LFR- прямоугольный равнобедренный. FR=12-4=8 LF=8 MK=LF=8 3) Cумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна 180 градусов. ∠TKL=180°-150°=30° В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. KL=10 4)∠CBD=∠DBA=60°- внутренние накрест лежащие при параллельных СВ и DA и секущей DB. Cумма острых углов прямоугольного треугольника 90 градусов. Значит ∠DАВ=30°. В прямоугольном треугольнике DBA катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. BD=AD/2=24 В прямоугольном треугольнике DBC катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. BC=BD/2=12 По теореме Пифагора из треугольника DBC DC^2=DB^2-CB^2=24^2-12^2=576-144=432 DC=12sqrt(3)
22.12.2016 лучшее решение
1) Решение первого неравенства системы: log_(x^3-6x^2+12x-8)(10-x) больше или равно 0. ОДЗ: {x^3-6x^2+12x-8 > 0, {x^3-6x^2+12x-8≠1; {10-x > 0 {(x-2)^3 > 0, {(x-2)^3-1≠0 ⇒ (х-3)*(x^2-3x+3)≠0⇒ x≠3, x^2-3x+3 > 0 при любом х, D=9-12 < 0 {x < 10 ОДЗ:х∈(2;3)U(3;10) Так как 0=log_(x^3-9x^2+27x-27)1, перепишем неравенство в виде: log_(x^3-6x^2+12x-8)(10-x) больше или равно log_(x^3-6x^2+12x-8)1. Применяем метод рационализации логарифмических неравенств: (x^3-6x^2+12x-8-1)*(10-х-1)больше или равно 0. (x^3-6x^2+12x-8-1)*(9-х)больше или равно 0. (x-2-1)*((x-2)^2+(x-2)+1)*(9-x)больше или равно 0. (x-3)^2+(x-3)+1=x^2-3x+3 > 0 при любом х, D=9-12 < 0 (x-3)*(9-x)больше или равно 0. ___-___ [3] __+___ [9] __-___ x∈[3;9] C учетом ОДЗ, получаем x∈(3;9] Решение второго неравенства системы: x^2–14x+48=(x–6)·(x–8) x^2–18x+80=(x–8)·(x–10) (1/(х–6)(х–8))+(1/(х–8)(х–10)) ≤ 0; ((х–10)+(х–6))/((х–6)·(х–8)·(х–10)) ≤ 0; (2·(х–8))/((х–6)·(х–8)·(х–10)) ≤ 0; ____+___ (6) ___–__ (8) __–___ (10) __+__ х∈(6;8)U(8;10) О т в е т. (6;8)U(8;9] 2)Решение первого неравенства системы: log_(x^3-9x^2+27x-27)(9-x) больше или равно 0. ОДЗ: {x^3-9x^2+27x-27 > 0, {x^3-9x^2+27x-27≠1; {9-x > 0 {(x-3)^3 > 0, {(x-3)^3-1≠0 ⇒ (х-4)*(x^2-5x+7)≠0⇒ x≠4, x^2-5x+7 > 0 при любом х, D=25-28 < 0 {x < 9 ОДЗ:х∈(3;4)U(4;9) Так как 0=log_(x^3-9x^2+27x-27)1, перепишем неравенство в виде: log_(x^3-9x^2+27x-27)(9-x) больше или равно log_(x^3-9x^2+27x-27)1. Применяем метод рационализации логарифмических неравенств: (x^3-9x^2+27x-27-1)*(9-х-1)больше или равно 0. (x^3-9x^2+27x-27-1)*(8-х)больше или равно 0. (x-3-1)*((x-3)^2+(x-3)+1)*(8-x)больше или равно 0. (x-3)^2+(x-3)+1=x^2-5x+7 > 0 при любом х, D=25-28 < 0 (x-4)*(8-x)больше или равно 0. ___-___ [4] __+___ [8] __-___ x∈[4;8] C учетом ОДЗ, получаем x∈(4;8] Решение второго неравенства системы: x^2–12x+35=(x–7)·(x–5) x^2–17x+70=(x–7)·(x–10) (2/(х–7)(х–5))+(3/(х–7)(х–10)) ≤ 0; (2·(х–10)+3·(х–5))/((х–5)·(х–7)·(х–10)) ≤ 0; (5·(х–7))/((х–5)·(х–7)·(х–10)) ≤ 0; ____+___ (5) ___–__ (7) __–___ (10) __+__ х∈(5;7)U(7;10) Ответ системы (5;7)U(7;8]
21.12.2016 лучшее решение
1)Диагональ квадрата делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника. см. рис. 1 Тогда диаметр d- катет прямоугольного треугольника. d=36*sin45 градусов=36*sqrt(2)/2=18sqrt(2) r=d/2=9sqrt(2) 2)S(основания)=π*r^2; 64=π*r^2; r^2=64/π; r=8/sqrt(π). S(ceчения)=d*h ( площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину) d=2r 2r*h=12sqrt(π) 2*(8/sqrt(π))*h=12sqrt(π) 16h=12π h=3π/4. 3) Ось ОР и плоскость, содержащая прямую CD паралелльны. Так как образующие цилиндра, проходящие через точку С и точку D параллельны оси ОР. Расстояние от прямой СD до оси ОР равно расстоянию ОM. Из прямоугольного треугольника СDK находим СK^2=25^2-7^2=625-49=576=24 CK=24 ОМ - высота и медиана равнобедренного треугольника СОК ( СО=ОК=r=13); KM=MC=12. Из прямоугольного треугольника КОМ ОМ^2=KO^2-KM^2=13^2-12^2=169-144=25 ОМ=5 4)Осевое сечение конуса равнобедренный треугольник. Высота h, проведенная к основанию является одновременной и медианой и биссектрисой, она делит угол при вершине пополам. Получили два прямоугольных треугольника с острыми углами 60 градусов и 30 градусов. Тогда r=h*tg60 градусов=4sqrt(3)*sqrt(3)=12 S(основания)=πr^2=π*12^2=144π r=7sqrt(2) S(осевого сечения)=(1/2)2r*h=7sqrt(2)*h h- может быть любой как 10, так и 100, так и 1000 Не знаю как точно ответить на вопрос. 6)КО=3sqrt(3) ОM=9 Треугольник КОМ - прямоугольный. KM^2=KO^2+OM^2=(3sqrt(3))^2+9^2=27+81=108 KM=sqrt(108)=6sqrt(3) ОF⊥KM Площадь прямоугольного треугольника КОМ можно найти двумя способами. S=KO*OM/2; S=KM*OF/2; KO*OM/2=KM*OF/2; KO*OM=KM*OF; OF=KO*OM/KM=3sqrt(3)*9/6sqrt(3)=9/2=4,5
21.12.2016 лучшее решение
247(1) log_(2)(x^2-2x)=3; x^2-2x=2^3; x^2-2x-8=0 D=(-2)^2-4*(-8)=4+32=36 x=-2 или x=4 Проверка При х=-2 log_(2)((-2)^2-2*(-2))=log_(2)8=3- верно. При х=4 log_(2)((4)^2-2*4)=log_(2)8=3- верно. О т в е т. -2; 4 247(1) log_(3,2)(2-x)=log_(3,2)(3x+6); 2-x=3x+6; -x-3x=6-2; -4x=4; x=-1 Проверка: log_(3,2)(2-(-1))=log_(3,2)(3*(-1)+6); log_(3,2)3=log_(3,2)3 - верно. О т в е т. -1 247(3) log_(2)(x-6)+log_(2)(x-8)=3; ОДЗ: {x-6 > 0; {x-8 > 0 x∈(8;+бесконечность) Cумму логарифмов заменяем логарифмом произведения log_(2)(x-6)*(x-8)=3; (x-6)(x-8)=2^3; x^2-14x+48-8=0 x^2-14x+40=0 D=196-160=36 x=10 или х=4 4∉ ОДЗ О т в е т. 10 258(1) log_(6)(4x+1) меньше или равно 1. 1=log_(6)6 log_(6)(4x+1) меньше или равно log_(6)6 Логарифмическая функция с основанием 6 - возрастает, меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента 4x+1меньше или равно 6 ОДЗ: 4x+1 > 0 Система неравенств {4x+1меньше или равно 6; {4x+1 > 0 {4x меньше или равно 5; {4x > -1 {x меньше или равно 5/4; {x > -1/4 О т в е т. (-1/4;5/4] 259(1) log_(5)(3x+2) больше или равно log_(5)(x-4); {3x+2 больше или равно х-4 ⇒ x≥-3 {3x+2 > 0 ⇒ x > -2/3 {x-4 > 0 ⇒ x > 4. О т в е т. [4;+ бесконечность). 259(3) lg(2x-1)меньше или равно lg(3x+2) {2x-1 меньше или равно 3x+2; {2x-1 > 0; {3x+2 > 0. {-x меньше или равно 3; {x > 1/2; {x > -2/3. О т в е т. (1/2;+ бесконечность)
19.12.2016 лучшее решение
А) Можно, см. рисунок Б) Нет В) 7
18.12.2016 лучшее решение
f(x)=x^2*(3x^2-8ax+6(a^2-1)) При х→+∞ и х→-∞ f(x) → + ∞ Другими словами "ветви" графика направлены вверх (как у параболы). Точки пересечения с осью ох х=0 - корень кратности 2 Существование других точек зависит от квадратного трехчлена 3x^2-8ax+6(a^2-1) D=(-8a)^2-4*3*6(a^2-1)=64a^2-72a^2+72=72-8a^2 Если D=0, при a=3 или а=-3 график функции у=f(x) принимает вид как на рисунке 1. При а=-3 f(x)=x^2*(3x^2+24x+48) f`(x)=12x*(x^2+6x+8) x^2+6x+8=0 D=36-32=4 x=(-6-2)/2=-4 x=(-6+2)/2=-2 ___-___ (-4) _+_ (-2) __-__ (0) _+__ x=-2 - точка максимума при а=-3 При а=3 f(x)=x^2*(3x^2-24x+48) f`(x)=12x*(x^2-6x+8) x^2-6x+8=0 D=36-32=4 x=(6-2)/2=2 x=(6+2)/2=4 ___-___ (0) _+_ (2) __-__ (4) _+__ x=2 - точка максимума при а=3 Если D < 0, при a < -3 и a > 3 график функции у=f(x) принимает вид как на рисунке 2. Функция не имеет экстремумов. Если D > 0, т.е при -3 < a < 3 график функции у=f(x) принимает вид как на рисунке 3 или 4. Квадратный трехчлен 3x^2-8ax+6(a^2-1) имеет две точки пересечения с осью ох (4a-sqrt(18-2a^2))/3 и (4a+sqrt(18-2a^2)/3 f`(x)=12x*(x^2-2ax+a^2-1) при а=0 x=0- точка максимума(рис.3) или x^2-2ax+a^2-1=0 D=4a^2-4a^2+4=4 x=а-1 или х=а+1 Если 0 < a < 3, расставим знаки производной ___-__ (0) __+__ (a-1) __-__(a+1)__+_ х=a-1 - точка максимума. Если -3 < a < 0, расставим знаки производной ___-__ (a-1) __+__ (a+1) __-__(0)__+_ х=a+1 - точка максимума. О т в е т. при а∈(-∞;-3)U(3;+∞) нет экстремумов при a=-3 x=-2 при a∈(-3;0) х=a+1 при а=0 х=0 при а ∈(0;3) х=а-1 при а=3 х=2
18.12.2016 лучшее решение
x > y⇒ x-y > 0 О т в е т. 2)
17.12.2016 лучшее решение
A___________*___120-48=72____*___48______B 1)48/80=0,6 часа затратил первый автомобиль на пусть до В после первой встречи. 2) за это время второй автомобиль проехал 120-48=72 км. 3) 72:0,6=120 км в час - скорость второго автомобиля. 4) 480:80 = 6 час. затратил на путь АВ первый. 5) 480:120=4 часа затратил на путь АВ второй. 6)48:120=0,4 часа проехал второй до места второй встречи с первым 0,4 часа=4/10часа=24/60 часа= 24 мин. 7) 4часа +20 мин+ 24 мин=4 часа 44 мин время второго до места второй встречи 7) 6 часов - 0,6 =5,4 часа время первого до места второй встречи или 5 часов 24 мин 9) 5часов 24 - 4 часа 44 мин= 40 мин На 40 мин позже выехал второй. 10) 80*40/60час=320/6 км - проехал первый, пока не выехал второй. 11)120-80 = 40 км в час - скорость"сближения" 12) 320/6 : 40 =8/6 час - время второго до места первой встречи 13)120*(8/6)=160 км проехал второй и догнал первого О т в е т. На расстоянии 160 км от А произошла первая встреча
17.12.2016 лучшее решение
О т в е т. Рейс 2)
17.12.2016 лучшее решение
2. 1) парабола; 2) прямая; 3) гипербола; 4) эллипс; 5) окружность 3. Нет координат второй точки.Поэтому невозможно ответить на вопрос 4.То же самое, коэффициент не написан. 5. нормальный вектор прямой х-4у+7=0 имеет координаты (1;-4). Прямые перпендикулярны, их нормальные векторы ортогональны Векторы ортогональны- скалярное произведение равно 0 1u-4v=0, где (u;v)- нормальный вектор перпендикулярной прямой. u=4v Первая координата нормального вектора в 4 раза больше второй. Условию задачи удовлетворяют прямые у=-4х+3, или 4х+у-3=0 8х+2у+3=0 координаты нормального вектора первой прямой(4;1) второй (8;2) 6) 2x-y+1=0 или у=2х+1 y-2x+2=0 или у=2х-2 Прямые параллельны и не имеют общих точек 7) a^2=64; a=8 b^2=36; b=6 b^2=c^2-a^2 c^2=b^2+a^2=64+36=100 c=-10 и с=-10 F1(-10;0) F2(10;0) Расстояние F2F1 равно 20. 8)Координаты фокуса параболы (p/2;0) Значит р/2=-4 p=-8 Каноническое уравнение параболы с фокусом на оси Ох имеет вид y^2=2px у^2=-16x^2 9. D=(-4)^2-4*20=16-80=-64 z1=(4-8i)/2=2-4i z2=(4+8i)/2=2+4i
16.12.2016 лучшее решение
V=a*b*h a*b=S=3366:33=102
15.12.2016 лучшее решение
Расстояние от точки M(x_(o),y_(o)) до прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0 вычисляется по следующей формуле: d = |Ax_(o)+ By_(o) + C|/sqrt(A^2 + B^2) Кроме того, по условию, эта прямая проходит через точку Р (3, 5) т. е. -5A + 2В + С = 0 Так как расстояния от точек А и В до прямой равны, то: |-2A -2B + C|/sqrt(А^2 + В^2) = |-3A +5B + C|/sqrt(A^2 + B^2) или |-2A -2B + C| = |-3A +5B + C| Раскрываем модули, если оба подмодульных выражения одного знака, то: 1) -2A -2B + C = -3A +5B + C ⇒ A = 7B если разных знаков, то 2) -2A -2B + C = 3A - 5B - C ⇒ -5A + 3B + 2C=0 С учетом принадлежности точки Р данной прямой получаем системы: 1) {-5A + 2В + С = 0 {A = 7B -35B + 2В + С = 0 Выразим неизвестные А и В через С и подставим в полученные значения в уравнение прямой: B=C/33 A=7C/33 Тогда уравнение прямой Ах+Ву+С=0 принимает вид 7Cx/33 + Cy/33 + C = 0 или 7х + у +33 = 0 2) {-5A + 2В + С = 0 {-5A + 3B + 2C=0 Вычитаем из второго уравнения первое В+С=0 ⇒ В=-С 5А=2В+С 5А=-С ⇒ А=-С/5 Тогда уравнение прямой Ах+Ву+С=0 принимает вид -Cx/5 - Cy + C = 0 или х +5 у -5 = 0 О т в е т. 7х + у + 33 = 0 и х + 5у -5 = 0.
15.12.2016 лучшее решение
log_(4)8=log8_(2)/log_(2)4=3/2
13.12.2016 лучшее решение
sqrt(5^3-5^2)=sqrt(125-25)=sqrt(100)=10
12.12.2016 лучшее решение
x-7=121 x=121+7 x=128
12.12.2016 лучшее решение
3364=a^2 a=58 О т в е т. 58 см
12.12.2016 лучшее решение
(x-(-1))^2/9+ (y-2)^2/4=1; (x+1)^2/9 + (y-2)^2/4=1
12.12.2016 лучшее решение
a) {log_(6)(x^2+x)/(x+4)≤1;⇒(x^2+x)/(x+4)≤6 {log_(6)(x^2+x)/(x+4)≥0⇒(x^2+x)/(x+4)≥1 {(x^2+x)/(x+4)≥0 1≤(x^2+x)/(x+4)≤6 ⇒ {(x^2-5x-24)/(x+4)≤0 {(x^2-4)/(x+4)≥0 Рассмотрим два случая: {x+4 > 0 {x^2-5x-24≤0 {x^2-4≥0 ___(-4) __[-3]\\\\[-2]___[2]///[8]___ x∈[-3;-2]U[2;8] или {x+4 < 0 \\\\(-4) __[-3]___[-2]||||[2]__ [8]___ {x^2-5x-24≥0 {x^2-4≤0 система не имеет решений. О т в е т. x∈[-3;-2]U[2;8] б){x > 0; {log_(2)(3*2^(x-1)-1)≥0 или {x < 0; {log_(2)(3*2^(x-1)-1)≤0 так как 0=log_(2)1 и логарифмическая функция с основанием 2 возрастает {x > 0; {(3*2^(x-1)-1)≥1 х∈(1+log_(2)2/3;+∞) или {x < 0; {(3*2^(x-1)-1)≤1 x∈(-∞;0) О т в е т ((-∞;0)U(1+log_(2)2/3;+∞) в) Два случая 1){0 < x < 1, показательная функция убывает {2-4log_(2)x+log^2_(2)x > -1 2){x > 1, показательная функция возрастает {2-4log_(2)x+log^2_(2)x < -1 {0 < x < 1, показательная функция убывает {log_(2)x < 1 или log_(2)x > 3 2){x > 1, показательная функция возрастает {1 < log_(2)x < 3 {0 < x < 1, показательная функция убывает {x < 2 или x > 8 2){x > 1, показательная функция возрастает {2 < x < 8 О т в е т. (0;1)U(2;8) г)Два случая 1){2^x+3*2^(-x) > 1, тогда показ. функция возрастает {2log_(2)x-log_(2)(x+6) > 0 или 2){0 < 2^x+3*2^(-x) < 1, тогда показ. функция убывает {2log_(2)x-log_(2)(x+6) < 0 Так как 2^x > 0, 1){(2^x)^2-2^(x)+3 > 0, при любом х D < 0 {log_x^2/(x+6) > log_(2)1 или 2)(2^x)^2+3 > 0 при любом х {(2^x)^2-2^(x)+3 < 0, не выполняется ни каких х {{log_x^2/(x+6) > log_(2)1 x^2/(x+6) > 1⇒ (x^2-x-6)/(x+6) > 0 _-__ (-6) _+_ (-2) _-__ (3) _+__ О т в е т. (-6:-2)U(3;+∞) д) два случая 1){x-2 > 1, лографим. функция возрастает {x^2-8x+15 > 1 ⇒ (x-4)^2 > 0 при всех х, кроме 4 2)0 < x-2 < 1,логарифм. функция убывает {x^2-8x+15 < 1 - нет решений 1) {x > 3 {x≠4 О т в е т. (3;4)U(4;+∞) e)Два случая 1) {x > 1, лог. функция возрастает {log_(9)3^x-9)≤x⇒3^x-9≤9^x⇒(3^x)^2-(3^x)+9≥0 D=1-4*9 < 0 О т в е т. 1) x > 1 2){0 < x < 1, лог.функция убывает {log_(9)(3^x-9)≥x⇒(3^x)^2-(3^x)+9≤0- не имеет решений О т в е т. х > 1 ж) Замена переменной log_(3)(x^2-3x+4)=t; log_(9)(x^2-3x+4)=(1/2)log_(3)(x^2-3x+4)=t/2. Неравенство примет вид sqrt(t/2) > t-1 1){t-1≥0 {t/2 > (t-1)^2⇒2t^2-5t+2 < 0 1≤t < 2 ⇒ 1≤log_(2)(3x^2-4x+2) < 2⇒ 2≤3x^2-4x+2 < 4 {3x^2-4x-2 < 0⇒((2-sqrt(10))/3;(2+sqrt(10))/3) {3x^2-4x≥0 ⇒ x≤0 или х≥4/3 О т в е т. 1) ((2-sqrt(10))/3;0]U[4/3;(2+sqrt(10))/3) 2){t-1 < 0 {t > 0 0 < t < 1 ⇒0 < log_(2)(3x^2-4x+2) < 1⇒ 0 < 3x^2-4x+2 < 1 {3x^2-4x+1 < 0 D=4 {3x^2-4x+2 > 0 D < 0 О т в е т. 2)(1/3;1) О т в е т. ((2-sqrt(10))/3;0]U (1/3;1)U[4/3;(2+sqrt(10))/3)
12.12.2016 лучшее решение
верно
11.12.2016 лучшее решение
Изображение
11.12.2016 лучшее решение
-1*5+2*х+3*(-1)=3 2х=11 х=5,5
11.12.2016 лучшее решение
7√5 =15,652475...≈15,65≈15,7
09.12.2016 лучшее решение
Чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава, необходимо поставлять на завод алюминия в два раза больше чем никеля. Пусть х рабочих занято на производстве алюминия на 1-й шахте, тогда (80-х) рабочих занято на производстве никеля. Так как каждый рабочий работает 5 часов и производит 1 кг алюминия в час или 2 кг никеля в час,то на первой шахте производится 1*5*x кг алюминия 2*5*(80-х) кг никеля На второй шахте также каждый рабочий работает 5 часов и производит в час 2 кг алюминия или 1 кг никеля, то на второй шахте производится 2*5*y кг алюминия 1*5*(200-у) кг никеля. (1*5*х+2*5*у) кг произведенного алюминия должно быть в два раза больше (2*5*(80-х)+1*5*(200-у)) кг никеля. Уравнение (1*5*х+2*5*у)=2*(2*5*(80-х)+1*5*(200-у)) или 25х+20у=3600 5х+4у=720 Это линейная зависимость, она достигает максимума либо при х=0, либо при х= 80 тогда у=180, либо у=80 При х=0 объем произведенного металла 2*5*80+2*5*180+1*5*(200-180)=2700 кг металла При х=80 объем произведенного металла 1*5*80+2*5*80+1*5*(200-80)=1800 кг О т в е т. 2700 кг
09.12.2016 лучшее решение
См. http://reshimvse.com/zadacha.php?id=11836
09.12.2016 лучшее решение
Изображение
07.12.2016 лучшее решение
Здоровое питание — это питание, обеспечивающее рост, нормальное развитие и жизнедеятельность человека, способствующее укреплению его здоровья и профилактике заболеваний. Правильное питание – это не только контроль калорий и бесконечные диеты, но и полноценный рацион, в котором должны присутствовать все необходимые продукты: мясо, злаки, молочные продукты, фрукты, овощи. Известно, что организм, не получающий регулярно всех нужных веществ, начинает «барахлить». Для того, чтобы этого не случилось, важно правильно подобрать рацион питания и ежедневно его придерживаться. Главные правила здорового и правильного питания 1. Сократить жиры животного происхождения. 2. Увеличить в рационе продукты, богатые насыщенными жирными кислотами, такими как Омега 3 (красная рыба, растительные масла, орехи). 3. Употреблять продукты, которые содержат клетчатку (злаки, овощи, фрукты, сухофрукты). 4. Употреблять в пищу свежеприготовленные блюда. 5. Не жарить на сливочном масле и полностью ликвидировать из рациона маргарин. 6. Отказаться от чрезмерно соленых продуктов. 7. Вместо молока употреблять молочнокислые продукты (кефир, йогурт, ряженку). 8. Мясо, рыбу и птицу употреблять свежеприготовленными и только с травами и овощами (петрушкой, сельдереем, укропом, салатом, зеленым луком, капустой и др.). 9. Каждый день есть салат из свежих овощей или фруктовый салат.
06.12.2016 лучшее решение
1. ОДЗ: x > 0 log_(5,6) x меньше или равно 1 1=log_(5,6)5,6 log_(5,6) x меньше или равно log_(5,6)5,6 Основание логарифмической функции 5,6 > 1, функция возрастает. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. x меньше или равно 5,6 C учетом ОДЗ: х > 0 О т в е т. (0; 5,6) 2. 1=log_(x+3)(x+3) log_(x+3) x больше или равно log_(x+3)(x+3) ОДЗ: {x+3 > 0, x+3≠1 {x > 0 x∈ (0;+бесконечность) При х > 0 x+3 > 3, логарифмическая функция возрастает, тогда x больше или равно x+3 0 > 3 - неверное неравенство. Неравенство не имеет решений. 3. log_(2) (4x+3) < –2 ОДЗ: 4х+3 > 0 x > -3/4 -2*1=-2*log_(2)2=log_(2)2^(-2)=log_(2)(1/4) log_(2)(4x+3)меньше или равно log_(2)(1/4) Основание логарифмической функции 2 > 1, функция возрастает. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. 4x+3 меньше или равно 1/4; 4х > (1/4)-3 4x > -11/4 x > -11/16 C учетом ОДЗ О т в е т. (-11/16; + бесконечность) 4. logx+5 x2 < 2*1; ОДЗ: {x+5 > 0, x+5≠1 {x≠0 x∈ (-5;-4)U(-4;0)U(0;+бесконечность) 2 случая 1) x+5 > 1, логарифмическая функция возрастает, тогда x^2 < 2 2) 0 < x+5 < 1, логарифмическая функция убывает, тогда x^2 > 2 О т в е т. 1)(-sqrt(2);sqrt(2)) О т в е т. 2)(-5;-4) Объединяем ответы с учетом ОДЗ О т в е т. (-5;-4)U (-sqrt(2);0)U(0;sqrt(2))
02.12.2016 лучшее решение
1. 1)=x^5/5|^2_(1)=(2^5-1^5)/5=31/5; 2)=sinx|^π_(0)=sinπ-sin0=0; 3)=x^4/4|^3_(1)=(3^4-1^4)/4=20; 4)=-ctgx|^(π/2)_(π/4)=-(0-1)=1; 5)=-1/(2*(2x+1))|^2_(1)=-(1/10)+(1/6)=1/15; 6)=6sin(x/2)^π_(0)=6sin(π/2)-0=6; 7)=-1/x|^(10)_(1)=(-1/10)+1=9/10; 8)=(-1/2)*cos2x|^(π/2)_(π/4)=-1/2cosπ+(1/2)cos(π/2)=1+0=1; 2. 1)слева: =tgx|^(π/4)_(0)=tg(π/4)-tg0=1 справа: =x|^(1)_(0)=1 слева 1 и справа 1. Равенство верно 2)слева: =-cosx|^(π/3)_(0)=-cos(π/3)+cos0=-1/2+1=1/2 справа: =2sqrt(x)|^(1/4)_(1/16)=2*((1/2)-(1/4))=1/2 слева 1/2 и справа 1/2. Равенство верно 3)слева: =sinx|^(π/2)_(0)=sin(π/2)-sin0=1 справа: =x^3/3|^(∛3)_(0)=3/3=1 слева 1 и справа 1. Равенство верно 4)слева: =(2x+1)^2/4|^(1)_(0)=(9/4)-(1/4)=2 справа: =(x^4/4-x)|^(2)_(0)=((2^4/4)-2)=2 слева 2 и справа 2. Равенство верно 3. 1)=-3сos(x/3)|^(2π)_(-π)=-3*cos(2π/3)+3cos(-π/3)=0; 2)=sqrt(2x+5)|^(2)_(-2)=sqrt(9)-sqrt(1)=3-1=2;^(3 3)=9tg(x/9)|^(3π)_(0)=9tg(π/3)-9tg0=3sqrt(3); 4)=2sqrt(x+3)|^(0)_(-2)=2sqrt(3)-2sqrt(1)=2sqrt(3)-1; 5)(sin(x/4)+cos(x/4))^2=1+2sin(x/2) =(x-4cos(x/2))|^(2π/3)_(0)=(2π/3)-4cos(π/3)-0+4cos0=(2π/3)-4*(1/2)+4*1=(2π/3)+2. 6)=(1+2x^4)/8|^(2)_(0)=(33/8)-(1/8)=(32/8)=4. 7)=(x+(1/2)*sin2x)|^(π/12)_(0)=(π/12)+(1/2)*sin(π/6)=(π/12)+(1/4); 8)=((x^2/2)+2sqrt(x))|^(4)_(1)=(4^2/2)+2sqrt(4)-(1)^2/2-2sqrt(1)= =8+4-(1/2)-2=9,5.
02.12.2016 лучшее решение
Изображение
02.12.2016 лучшее решение
Изображение
02.12.2016 лучшее решение
6,4-(-23,1)=6,4+23,1=29,5
02.12.2016 лучшее решение
ρ=m:V m=27 кг V=0,03м^3 ρ=27:0,03=900 кг/м^3
01.12.2016 лучшее решение
ρ=m:V m=27 кг V=0,03м^3 ρ=27:0,03=900 кг/м^3
01.12.2016 лучшее решение
х^2=-12:(-4/3) x^2=12*(3/4) x^2=9 x=-3 или х=3
30.11.2016 лучшее решение
1) 4^(x^2-8x+12)=4^3; x^2-8x+12=3; x^2-8x+15=0; D=64-60=4 x_(1)=3; x_(2)=5 2)Замена переменной 2^x=t, t > 0;2^(2x)=t^2 t^2-14t-32=0 D=(-14)^2-4*(-32)=196+128=324=18^2 x_(1)=(14-18)/2=-2 не удовл. условию t > 0 x_(2)=(14+18)/2=16 2^x=16 2^x=2^4 x=4 3)2^(x+1)*(1-2^(x+3-x-1))=-12; 2^(x+1)*(1-2^2)=-12; 2^(x+1)*(-3)=-12 2^(x+1)=4; 2^(x+1)=2^2 x+1=2 x=1 4)2^(4x-3)*(2^3-3-2^2)=512; 2^(4x-3)*1=2^9 4x-3=9 4x=12 x=3 5)x^2+(3x/4)=t 4x^2+3x=4t 4^(4t)-2=16^t ((4^2))^(2t)-2=16^t Замена 16^t=z z^2-z-2=0 D=1+8=9 z_(1)=-1 z_(2)=2 16^t=2 (2^4)^t=2 4t=1 4*(x^2+(3/4)x)=1 4x^2+3x-1=0 D=9+16=25 x_(1)=-1; x_(2)=1/4 6)(4^(-1))^(2x+1)*4^(x+3)=4^(-3); 4^(-2x-1+x+3)=4^(-3); 4^(-x+2)=4^(-3); -x+2=-3 -x=-5 x=5 7) 5^(2x+5)+5^(2x)=2^(x+4)-2^(x+3); 5^(2x)*(5^5+1)=2^x*(2^4-2^3); 25^x*3126=2^x*8 (25/2)^x=8/3126 x=log_(25/2)(4/1563) 8) sqrt(8+3sqrt(7))*sqrt(8-3sqrt(7))=1 Замена (sqrt(8+3sqrt(7)))^x= t; (sqrt(8-3sqrt(7)))^x=1/t t+(1/t)=16 t^2-16t+1=0 D=256-4=252=(6sqrt(7))^2 t_(1)=8-3sqrt(7) или х_(2)=8+3sqrt(7) (sqrt(8+3sqrt(7)))^x= 8-3sqrt(7) (sqrt(8+3sqrt(7)))^x= (sqrt(8+3sqrt(7)))^(-1) х=-1 или (sqrt(8+3sqrt(7)))^x= (sqrt(8+3sqrt(7))) х=1 9) 5^(sqrt(x+1))=t; 25^(sqrt(x+1))=t^2. 25t^2-126t+5=0 D=126^2-4*25*5=15876-500=15376=124^2 t=(126-124)/50=1/25 или t=(126+124)/50=5 5^(sqrt(x+1))=1/25 sqrt(x+1)=-2 - уравнение не имеет смысла. Слева положительное выражение, справа отрицательное число. Нет корней 5^(sqrt(x+1))=5 sqrt(x+1)=1 x+1=1 x=0. 10) Пропорция. Перемножаем крайние и средние члены пропорции: 7*5^x-14*5^(-x)=3*5^x+6*5^(-x); 4*5^x=20*5^(-x) 5^x=5*5^(-x) 5^x=5^(1-x) x=1-x 2x=1 x=1/2
30.11.2016 лучшее решение
Изображение
29.11.2016 лучшее решение
Изображение
28.11.2016 лучшее решение
Это буква дельта
27.11.2016 лучшее решение
По теореме Виета для кубического уравнения: {sinx+cosx+tgx=-a/2; {sinx*cosx+sinx*tgx+cosx*tgx=b/2; {sinх*cosx*tgx=-c/2 Последнее уравнение принимает вид sin^2x=-c/2; sinx =sqrt(-c/2) или sinx=-sqrt(-c/2). Так как -1 меньше или равно sinx меньше или равно 1, то уравнения имеют решения при -1 меньше или равно sqrt(-c/2) меньше или равно 1 По условию коэффициенты целые, неравенству удовлетворяют три целых значения с с=-2;-1;0 sin^2x=1 ⇒ cosx=0 sin^x=1/2 sin^2x=0 Условию задачи удовлетворяет второй случай. sin^2x=1/2 1) sinx=sqrt(2)/2, тогда cosx=-sqrt(2)/2 tgx=-1 подставляем эти значения в первые два уравнения системы: x=3π/4+2πk, k∈Z ⇒ b=-1; a=2; c=-1 или sinx=sqrt(2)/2; cosx=sqrt(2)/2; tgx=1. х=π/4+2πk, k∈Z этот случай не удовлетворяет условию задачи, коэффициенты а и b не целые 2) sinx=-sqrt(2)/2 cosx=sqrt(2/2) tgx=-1 х=-π/4+2πk, k∈Z b=-1; a=2; c=-1 те же самые значения коэффициентов или sinx=-sqrt(2)/2 cosx=-sqrt(2/2) tgx=1 х= (-3π/4)+2πk, k∈Z этот случай не удовлетворяет условию задачи О т в е т. 2x^3+2x^2-x-1=0 - одно уравнение.
27.11.2016 лучшее решение
АС=14/5=2,8 км СВ=21/5=4,2 км По условию задачи велосипедист и мотоциклист пробыли в пути 1 час.(Начало движения 11:00, окончание движения 12:00) Пусть велосипедист был в пути t часов, тогда мотоциклист был в пути (1-t) часов. (7/t)км/ч - скорость велосипедиста, (7/(1-t)) км/ч - скорость мотоциклиста. Пусть в х км от А мотоциклист встретил пешехода. 4,2:(7/t)=0,6t час. затратил велосипедист на путь СВ. (7-х)*(1-t)/7 час. затратил мотоциклист на путь до места встречи с пешеходом. Cумма (0,6t+(7-х)*(1-t)/7) час - время пешехода на пусть от С до места встречи с мотоциклистом. (2,8-х): (0,6t+(7-х)*(1-t)/7) км/ч - скорость велосипедиста. На путь в х км пешеход затратил на 1,5 часа больше, чем мотоциклист, потому что прибыл в А на 1,5 часа позже (13:30-12:00) Составляем уравнение: х/v(пешехода) - х/v(мотоциклиста) = 1,5 часа х*(0,6t+(7-х)*(1-t)/7)/(2,8-х) - (х(1-t)/7)=1,5 73,5х=147 х=2 7-х=7-2=5 км О т в е т. На расстоянии 5 км от В мотоциклист догнал пешехода
27.11.2016 лучшее решение
F(x)|^4_(1)=(x^2-4x)|^4_(1)=4^4-4*4-(1^2-4*1)=3
26.11.2016 лучшее решение
ОДЗ выражения {cosax > 0; {sinax > 0. Замена переменной log_(a)cosax=v; log_(a)sinax=u; log_(a)tgax=log_(a)sinax-log_(a)cosax=u-v. Преобразуем каждое подкоренное выражение 106+log^2_(a)cosax+log_(a)cos^(10)ax= =106+log^2_(a)cosax+10log_(a)cos^(10)ax= =v^2+10v+106=(v+5)^2+9^2 58+log^2_(a)sinax–log_(a)sin^(6)ax= =58+log^2_(a)sinax–6log_(a)sinax= =u^2-6u+58=(u-3)^2+7^2 5+log^2_(a)tgax+log_(a)tg^2ax= =5+log^2_(a)tgax+2log_(a)tgax= =(u-v+1)^2+2^2 Данное выражение принимает вид sqrt((v+5)^2+9^2)+sqrt((u-3)^2+7^2)+sqrt((u-v+1)^2+2^2)- каждое слагаемое можно рассматривать как длину вектора с соответствующими координатами. Пусть vector{b}=(v+5;9) vector{c}=(-u+3;7) vector{d}=(u-v+1;2) Сумма длин векторов больше или равна длины суммы этих векторов. vector{b}+vector{c}+vector{d}=(v+5-u+3+u-v+1;9+7+2)= (9;18) Так как (u-3)^2=(-u+3)^2, то теперь должно быть понятно, почему первая координата вектора c выбрана с противоположными знаками. Равенство суммы длин векторов длине суммы возможно лишь при условии, что векторы сонаправлены. При этом координаты пропорциональны. Составляем пропорции: (v+5)/(-u+3)=9/7; (-u+3)/(u-v+1)=7/2. Из системы уравнений {7v+9u+8=0 {-7v+9u+1=0 Складываем 18u+9=0 u=-1/2 v=-1/2 Тогда vector{b}=(4,5;9) vector{c}=(3,5;7) vector{d}=(1;2) vector{b}+vector{c}+vector{d}=(9;18) |vector{b}+vector{c}+vector{d}|=9sqrt(5) log_(a)cosax=-1/2 ⇒ cosax=1/sqrt(a) log_(a)sinax=-1/2 ⇒ sinax=1/sqrt(a) a∈(0;1)U(1;+ бесконечность) cos^2ax+sin^ax=2/a 1=2/a ⇒ a=2 При а=2 cos2x=1/sqrt(2) и sin2x=1/sqrt(2) С учетом ОДЗ: 2x=(π/4)+2πk, k∈Z. x=(π/8)+πk, k∈Z. При (2;(π/8)+πk) k∈Z достигается наименьшее значение и оно равно 9sqrt(5) О т в е т. 9sqrt(5) при (2;(π/8)+πk) k∈Z
24.11.2016 лучшее решение
В основании правильный шестиугольник, состоящий из шести равносторонних треугольников со стороной 14. Высота равностороннего треугольника равна h=14sqrt(3)/2=7sqrt(3). (cм. рис.3) Так как ВК:КС=3:4, то ВК=6; КС=8 Из подобия KG=GM=10 GO=8*h/14=8*7sqrt(3)/14=4sqrt(3) Cечение имеет вид (см. рис. 4), поэтому LN=NT=10 Треугольник SOF подобен треугольнику SNT. OF:NT=SO:SN=14:10=7:5 Обозначим SО=7k; SN=5k; NO=2k Прямоугольные треугольные SNH, GNO и SOR подобны по двум углам. Обозначим ∠SNH=∠GNO=∠SRO=α ( см. рис.1) Из треугольника GNO: tgα=GO/NO=4sqrt(3)/2k=2sqrt(3)/k Из треугольника SOR:tgα=SO/OR=7k/7sqrt(3)=k/sqrt(3) приравниваем правые части и получаем k=sqrt(6) tgα=sqrt(2) cosα=1/sqrt(3) sinα=sqrt(2/3) Из треугольника SOR cosα=OR/SR SR=7sqrt(3)/(1/sqrt(3))=21 - апофема боковой грани SO=7k=7sqrt(6) SH=SN*sinα=5sqrt(6)*sqrt(2/3)=10 SQ:SE=SH:SR=10:21 ( PQ || DE) Из треугольника SOF SF^2=SO^2+OF^2=(7sqrt(6))^2+14^2=490 SF=7sqrt(10)- боковое ребро пирамиды. S(Δ SFE)=14*21/2=147; SQ=10SE/21=10SF/21=10sqrt(10)/3 SF:ST=OF:NT=7:5 ST=5SF/7=5sqrt(10) S(ΔSTQ):S(ΔSFE)=ST*SO/SF*SE= =ST*SO/SF^2=500/(3*490)=50/147; S(ΔSTQ)=(50/147)*147=50 S(ΔSTQ)=S(ΔSLP))=50 О т в е т. 50
24.11.2016 лучшее решение
Пусть k - коэффициент пропорциональности радиусов, тогда R=8k; r=5k. O-центр окружности радиуса 5k, Р- центр окружности радиуса 8k. Точки О,Р,Т лежат на одной прямой. SO=OT=5k CP=PT=8k Равнобедренные треугольники SOT и СРТ подобны, угол СТО- общий. РТ=РО+ОТ 8k=PO+5k⇒ PO=3k OT:TP=TS:TC=5k:8k=5:8, TS:CS=TO:OP=5:3 ( по теореме Фалеса) или СS:ST=3:5 SO⊥AB CP || SO, значит СР || SO и СP⊥AB CP- диаметр. Диаметр перпендикулярный хорде делит хорду пополам. AF=FB. CF- высота и СF- медиана, треугольник АСВ - равнобедренный АС=СВ. По условию ВС=ВТ, равные хорды стягивают равные дуги. ∠САВ=∠ВАТ=∠СТВ=∠ВСТ как углы опирающиеся на равные дуги. и ∠СВА=∠СТА ( доказано, АС=ВС) Значит, АВ- биссектриса угла А и по свойству биссектрисы угла треугольника САТ СS:ST=CA:АТ По доказанному ранее СS:ST=3:5 значит СА:АТ=3:5 и так как СА=3, значит АТ=5 ∠САВ=∠ВАТ, внутренние накрест лежащие углы и значит ВС||AT. Четырехугольник ТАСВ - равнобедренная трапеция. h=sqrt(3^2-1)=sqrt(80 S(трапеции)=(ВС+АТ)*h/2=(3+5)*sqrt(8)/2=4sqrt(8)=8sqrt(2) О т в е т. S(TABC)=8sqrt(2)
24.11.2016 лучшее решение
Изображение
23.11.2016 лучшее решение
.
23.11.2016 лучшее решение
сos^2α=1/(1+tg^2α)=1/(1+25/16)=16/41 cosα=4/sqrt(41)
22.11.2016 лучшее решение
Изображение
21.11.2016 лучшее решение
ОДЗ:х≠-1 28*3^x-3 > 0 ⇒ 3^x > 3/28 x > log_(3)(3/28) -2=log_(3)(1/9) > log_(3)(3/28) log_(3)(3/28) < -2 1) Если х+1 > 0, то log_(3)sqrt(28*3^x-3) больше или равно х+1 или log_(3)sqrt(28*3^x-3) больше или равно (х+1)*log_(3)3; log_(3)sqrt(28*3^x-3) больше или равно log_(3)3^(x+1). Логарифмическая функция с основанием 3 - возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента sqrt(28*3^x-3) больше или равно log_(3)3^(x+1). Возводим в квадрат 28*3^x-3 больше или равно (3^(x+1))^2; Замена переменной 3^x=t 3^2x=t^2 9t^2-28t+3 меньше или равно 0 (-28)^2-4*9*3=784-108=676 t=(28-26)/18=1/9 или t=(28+26)/18=3 (1/9) меньше или равно t меньше или равно 3 (1/9) меньше или равно 3^x меньше или равно 3 -2меньше или равно x меньше или равно 1 C учетом x > -1 х∈(-1;1] 2)Если х+1 < 0, то log_(3)sqrt(28*3^x-3) меньше или равно х+1 или log_(3)sqrt(28*3^x-3) меньше или равно (х+1)*log_(3)3; log_(3)sqrt(28*3^x-3) меньше или равно log_(3)3^(x+1). Логарифмическая функция с основанием 3 - возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента sqrt(28*3^x-3) меньше или равно log_(3)3^(x+1). Возводим в квадрат 28*3^x-3 меньше или равно (3^(x+1))^2; Замена переменной 3^x=t 3^2x=t^2 9t^2-28t+3 больше или равно 0 (-28)^2-4*9*3=784-108=676 t=(28-26)/18=1/9 или t=(28+26)/18=3 t меньше или равно (1/9) или t больше или равно 3 3^x меньше или равно (1/9) или 3^x больше или равно 3 так как рассматривается случай x < - 1 и с учетом ОДЗ х∈(log_(3)(3/28);-2] О т в е т. х∈(log_(3)(3/28);-2]U(-1;1]
21.11.2016 лучшее решение
Изображение
20.11.2016 лучшее решение
По формуле синуса двойного угла sin2x=2*sinx*cosx 2*sinx*cosx+sqrt(3)sinx=0 sinx*(2cosx+sqrt(3))=0 sinx=0 или 2cosx+sqrt(3)=0 x=πk, k∈Z или сosx=-sqrt(3)/2 x=± arccos(-sqrt(3)/2)+2πn, n∈Z x=± (π- arccos sqrt(3)/2)+2πn, n∈Z x=± (π- (π/6))+2πn, n∈Z x=± (5π/6))+2πn, n∈Z О т в е т. а)πk; ± (5π/6))+2πn, k, n∈Z б) Найдем корни, принадлежащие отрезку [5π/2 ; 7π/2]. Для этого составим неравенство 5π/2 < πk <  7π/2, k∈Z или 5/2 < k < 7/2, k∈Z - неравенство верно при k=3 Значит х=π*3=3π - корень из первой серии ответов, принадлежащий указанному промежутку. Составим второе неравенство 5π/2 < (5π/6))+2πn <  7π/2, n∈Z или 5/2 < (5/6)+2n < 7/2, n∈Z Умножим на 6 15 < 5 +12n < 21, n∈Z или 10 < 12n < 16 - неравенство верно при n=1 Значит х=(5π/6)+2π= 17π/6 - корень из второй серии ответов, принадлежащий указанному промежутку. Составим третье неравенство 5π/2 < (-5π/6))+2πn <  7π/2, n∈Z или 5/2 < (-5/6)+2n < 7/2, n∈Z Умножим на 6 15 < -5 +12n < 21, n∈Z или 20 < 12n < 26 - неравенство верно при n=2 Значит х=(-5π/6)+2π*2= 19π/6 - корень из второй серии ответов, принадлежащий указанному промежутку. Можно рассмотреть эти корни на единичной окружности. О т в е т. б) 17π/6; 3π; 19π/6.
19.11.2016
1) АВ у=kx+b Подставляем координаты точек А и В -3=k*1+b 4=k*3+b 2k=7 k=3,5 b=-6,5 у=3,5х-6,5 7х-2у=13 (х/(13/7))-(у/6,5)=1 АС у=kx+b -3=k+b -2=k*7+b k=1/6 b=-3 целых 1/6 у=(1/6)х-(19/6) х-6у=19 (х/19)-(у/(19/6))=1 ВС у=kx+b 4=k*3+b -2=k*7+b 4k=6 k=3/2 b=4-3k=4-(9/2)=-1/2 y=(3/2)x-(1/2) 3x-2y=1 x/(1/3)-y/(1/2)=1 2) координаты точки М- середины АВ M((1+3)/2;(-3+4)/2)=M(2;1/2) Уравнение медианы СМ у=kx+b -2=k*7+b b=-2-7k -1/2=k*2+b -1/2=k*2-2-7k 3/2=-5k k=-3/10 b=-4,1 y=-0,3x-4,1 Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно -1. у=(10/3)х+b - уравнения прямых, перпендикулярных медиане СМ. Подставляем координаты точки А -3=(10/3)+b b=-19/3 y=(10/3)x-(19/3) - уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины С 3) сos ∠B=vector{BA}*vector{BC}/|vector{BA}|*|vector{BC}| vector{BA}={1-3;-3-4)=(-2;-7) |vector{BA}|=sqrt((-2)^2+(-7)^2)=sqrt(53) vector{BC}={7-3;-2-4)=(4;-6) |vector{BC}|=sqrt(4^2+(-6)^2)=sqrt(52) cos∠B=((-2)*(4)+(-7)*(-6))/sqrt(53)*sqrt(52)= =34/sqrt(53)*sqrt(52) Смежный с ним угол тупой и потому косинус его отрицательный. В условии задачи спрашивается про тупой угол О т в е т. cos∠B= - 34/sqrt(53)*sqrt(52) 4) Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. y=(3/2)x+b Подставляем координаты точки А -3=(3/2)+b b=-4,5 y=(3/2)x-(9/2) 3x-2y-9=0 - уравнение прямой, параллельной ВС и проходящей через точку А 5) См. рисунок. Площадь треугольника легко найти, достроив его до прямоугольника со сторонами 6 и 7 и вычитая из площади прямоугольника площади трех прямоугольных треугольников. S=6*7-(6*1/2)-(6*4/2)-(7*2/2)=42-3-12-7=20 кв. см
18.11.2016 лучшее решение
4*10^3+5*10^2+6*10^1=4*1000+5*100+6*10=4560
18.11.2016 лучшее решение
Изображение
18.11.2016 лучшее решение
Составим уравнение прямой АВ как прямой, проходящей через две точки (х-(-4))/((-1)-(-4))=(y-(-3))/(4-(-3)) или (х+4)/3=(у+3)/7 7х-3у+19=0 нормальный вектор прямой АВ имеет координаты (7;-3) Нормальные векторы перпендикулярных прямых ортогональны. Их скалярное произведение равно 0 (3;7)- нормальный вектор высоты, проведенной к АВ. Запишем уравнение в общем виде 3х+7у+С=0 Чтобы найти С подставим координаты точки С. 3*6+7*1+С=0 С=-25 Уравнение высоты, проведенной к АВ 3х+7у-25=0 Аналогично пишем уравнение стороны ВС (х+1)/(6+1)=(y-4)/(1-4) 3х+7у-25=0 Замечаем, что прямые ВС и высота из точки С имеют одинаковые уравнения. Значит треугольник прямоугольный. S=АВ*ВС/2 АВ=sqrt(3^2+7^2)=sqrt(58) BC=sqrt(7^2+(-3)^2)=sqrt(58) S=АВ*ВС/2=sqrt(58)*sqrt(58)/2=29 Уравнение стороны АС (х+4)/(6+4)=(y3)/(1+3) 2х-5у–7=0 Уравнение высоты 5х+2у+С=0 Подставляем координату точки В 5*(-1)+2*4+С=0 С=-3 5х+2у-3=0 - уравнение высоты из точки В к стороне АС.
18.11.2016 лучшее решение
-2x-7=-4x -2x+4x=7 2x=7 x=7:2 x=3,5
18.11.2016 лучшее решение
7+8x=-2x-5 8x+2x=-5-7 10x=-12 x=-1,2
18.11.2016 лучшее решение
1) Находим точку пересечения прямых {9x-2y-5=0; {8x+3y-14=0. Умножаем первое уравнение на 3, второе уравнение на 2 {27x-6y-15=0; {16x+6y-28=0. Складываем 43х-43=0 х=1 2у=9х-5 2у=9*1-5 2у=4 у=2 (1;2) - координаты точки пересечения прямых Прямая 3х-7y+5=0 или y=(3/7)x+(5/7) имеет угловой коэффициент k=(3/7), значит tgα=3/7, где α- угол наклона этой прямой к оси Ох. Прямая, уравнение которой необходимо написать, составляет с прямой 3х-7у+5=0 угол 45 градусов, значит угол наклона искомой прямой к сои ох (α+45 градусов) Найдем tg(α+45 градусов)=(tgα + tg 45 градусов)/(1-tgαtg45 градусов)=((3/7)+1)/(1-1*(3/7))=(10/7)/(4/7)=10/4=5/2 Значит k(искомой прямой)=5/2 Запишем уравнение этой прямой в виде у=kx+b и для нахождения b подставим в это уравнение координаты найденной точки пересечения прямых у=(5/2)х+b x=1 y =2 2=(5/2)+b b=-1/2 О т в е т. у =(5/2)х-(1/2) или 5х-2у-1=0 2) По формуле расстояния от точки (х_(0);у_(0)) до прямой ax+by+c=0 d=|ax_(0)+b_y_(0)+c|/sqrt(a^2+b^2) d=|5*(-1)-2*2-1|/sqrt(5^2+(-2)^2)=10/sqrt(29) О т в е т. 10/sqrt(29)
17.11.2016 лучшее решение
.
17.11.2016
80. 1)=(5^4*2^4*10)^(1/5)= =(5^5*2^5)^(1/5)=10
17.11.2016 лучшее решение
Изображение
15.11.2016 лучшее решение
a) ОДЗ: {x^2-x-20 > 0 (x+2)*sqrt(x^2-x-20)-6(x+2)=0 (x+2)*(sqrt(x^2-x-20)-6)=0 x+2=0 или sqrt(x^2-x-20)-6=0 x=-2 или sqrt(x^2-x-20)=6 Возводим в квадрат х^2-x-20=36 x^2-x-56=0 D=1-4*(-56)=225 x=(1-15)/2=-7 или х=(1+15)/2=8 Проверяем удовлетворяют ли корни ОДЗ: при х=-2 (-2)^2-(-2)-20 > 0 - неверно. х=-2 не является корнем уравнения при х=-7 (-7)^2-(-7)-20 > 0 верно при х=8 8^2-8-20 > 0 верно. О т в е т. х=-7; х=8 б) ОДЗ: {x^2+x-2≥0 {x^2-4x+3≥0 {x^2-1≥0 x^2+x-2=(x+2)(x-1) x^2-4x+3=(x-1)(x-3) x^2-1=(x-1)(x+1) {__+__ (-2) ______ (1) __+__ {________+________ (1)_______ (3) ___+ {______+____ (-1)__ (1)___+___ ОДЗ: x ∈(-∞;-2)U{1}U(3;+∞) sqrt(x-1)*(sqrt(x+2)-sqrt(x-3)-sqrt(x+1))=0 sqrt(x-1)=0 или sqrt(x+2)-sqrt(x-3)-sqrt(x+1)=0 x-1=0 или sqrt(x+2)-sqrt(x-3)=sqrt(x+1) х=1 или возводим в квадрат x+2-2 sqrt(x+2)sqrt(x-3)+x-3=x+1 sqrt(x+2)sqrt(x-3)=x-1 Возводим в квадрат при условии, что х-1≥0, x ≥ 1 (x+2)(x-3)=(x-1)^2 x^2-x-6=x^2-2x+1 x=7 О т в е т. 1; 7 в) ОДЗ: x+2 > 0 x > -2 Замена переменной sqrt(x+2)=t, t > 0 x+2=t^2 x=(t^2-2) x^2=(t^2-2)^2 Уравнение принимает вид: ((t^2-2)^2/t) + (t^2-2)=2t Умножаем на t > 0 t^4-4t^2+4+t^3-2t^2-2t=0 t^4+t^3-6t^2-2t+4=0 t=2 корень уравнения, так как 2^4+2^3-6*2^2-2*2+4=0-верно, 16+8-24-4+4=0. (t-2)*(t^3+3t^2-2)=0 t-2=0 или t^3+3t^2-2=0 t=2 или (t^3-1)+3(t^2-1)=0 (t-1)(t^2+t+1-t+1)=0 (t-1)(t^2+2)=0 t-1=0 t=1 Возвращаемся к переменной х: sqrt(x+2)=1 или sqrt(x+2)=2 Вовзводим в квадрат х+2=1 или х+2=4 х=-1 х=2 Оба корня принадлежат ОДЗ О т в е т. -1;2 ж) Умножаем обе части уравнения на sqrt(2x^2+3x+5)-sqrt(2x^2-3x+5) 2x^2+3x+5-(2x^2-3x+5)=3x*(sqrt(2x^2+3x+5)-sqrt(2x^2-3x+5) или 6х=3x*(sqrt(2x^2+3x+5)-sqrt(2x^2-3x+5) или (sqrt(2x^2+3x+5)-sqrt(2x^2-3x+5)=2 Складываем полученное уравнение с данным 2*sqrt(2x^2+3x+5)=3х+2 Возводим в квадрат 4*(2x^2+3x+5)=9x^2+12x+4 x^2=16 x=-4 или х=4 х=-4 не удовлетворяет условию задачи, так как при х=-4 слева положительное число (сумма двух корней), а справа отрицательное 3*(-4)=-12 При х=4 sqrt(49)+sqrt(25)=12 - верно О т в е т. х=4 з) ОДЗ: {х+2≥0 {2-x≥0 {sqrt(2+x)-sqrt(2-x)≠0 {x ≠0 x∈[-2;0)U(0;2] ОДЗ: x2 x*(sqrt(2+x)+sqrt(2-x))=2*(sqrt(2+x)-sqrt(2-x)) (x+2)*sqrt(2-x)=(2-x)sqrt(2+x) Возводим в квадрат (х+2)^2*(2-x)=(2-x)^2*(2+x) (х+2)^2*(2-x)-(2-x)^2*(2+x)=0 (x+2)*(2-x)*(x+2-2+x)=0 x+2=0 или 2-х=0 или 2х=0 х=-2 х=2 х=0∉ОДЗ О т в е т. -2; 2 г) х+5-4sqrt(x+1)=(x+1)-4sqrt(x+1)+4= =(sqrt(x+1)-2)^2 sqrt(х+5-4sqrt(x+1))=sqrt(((sqrt(x+1)-2)^2)= =|sqrt(x+1)-2| х+10-6sqrt(x+1)=(x+1)-6sqrt(x+1)+9= =(sqrt(x+1)-3)^2 sqrt(х+10-6sqrt(x+1))=sqrt((sqrt(x+1)-3)^2)= =|sqrt(x+1)-3| Уравнение принимает вид |sqrt(x+1)-2|+|sqrt(x+1)-3|=1 к) ОДЗ: {4x^2-1≥0 {4x-1≥0 или {(2x-1)*(2x+1)≥0 _+_ [-1/2] __ [1/2] _+_ {4x≥1 х∈ [1/2; + бесконечность) При x ≥ 1/2 фунцкия у=sqrt(4x^2-1) больше или равна 0 функция у=1-sqrt(4x-1) меньше или равна 0 Уравнение имеет один корень в случае sqrt(4x^2-1)=0 и 1-sqrt(4x-1)=0 4x^2-1=0 x=1/2 х=-1/2 не входит в ОДЗ О т в е т. х=1/2
13.11.2016 лучшее решение
44.9 ОДЗ: x > 0 Применяем формулу логарифма степени: 2log_(8)x=log_(8)x^2 и суммы логарифмов log_(8)2,5+log_(8)10=log_(8)25 Уравнение принимает вид: log_(8)x^2=log_(8)25 x^2=25 x=5 или x=-5 - не принадлежит ОДЗ О т в е т. х=5 44.12 ОДЗ: {x > 0, x≠1 {2x^2+x-2 > 0 По определению логарифма 2x^2+x-2=x^3 (x^3-2x^2)-(x-2)=0 x^2*(x-2)-(x-2)=0 (x-2)(x^2-1)=0 x=2 или х=1 или х=-1 x=1; x=-1 не принадлежат ОДЗ, не выполняется первое неравенство. х=2 удовлетворяет первому неравенству, проверим удовлетворяет ли второму 2х^2+x-2=2*2^2+2-2 > 0 - верно. О т в е т. х=2 44.15 ОДЗ: 6-5^x > 0 Не решаем неравенство. Проверим подстановкой удовлетворяют ли корни этому неравенству. По определению логарифма 6-5^x=5^(1-x) 6-5^x=5*5^(-x) Умножаем на 5^x > 0 6*5^x- (5^x)^2=5 Квадратное уравнение 5^x=t t^2-6t+5=0 D=36-20=16 t=(6-4)/2=1 или t=(6+4)/2=5 5^x=1 или 5^x=5 x=0 или х=1 При х=0 6-5^0 > 0 - верно 6-5^1 > 0 - верно О т в е т. х=0; х=1 4.17 ОДЗ: х > 0 x≠1 Логарифмируем обе части неравенства по основанию 3 log_(3)(x)^(1+log_(3)x)=log_(3)9 Применяем свойства логарифма степени: (1+log_(3)x)*log_(3)x=2; Замена переменной: log_(3)x=t (1+t)*t=2 t^2-t-2=0 D=(-1)^2-4*(-2)=1+8=9 t=(1-3)/2=-1 или t=(1+3)/2=2 log_(3)x=-1 или log_(3)x=2 x=3^(-1) или x=3^2 x=1/3 или х=9 Оба корня удовлетворяют ОДЗ О т в е т. 1/3; 9 44.19 ОДЗ {x > 0 {y > 0 По определению логарифма первое уравнение можно записать так: (x+y)=5^1. Сумма логарифмов равна логарифму произведения и второе уравнение примет вид: log_(6)xy=1 Получаем систему: {x+y=5 {xy=6 Решаем систему способом подстановки {y=5-x {x*(5-x)=6 Решаем второе уравнение: x^2-5x+6=0 D=25-24=1 x=(5-1)/2=2 или x=(5+1)/2=3 y=5-x=5-2=3 или у=5-х=5-3=2 Оба решения удовлетворяют ОДЗ О т в е т. (2;3) (3;2)
13.11.2016 лучшее решение
-80+0,3*(-1000)=-80-300=-380
12.11.2016 лучшее решение
2178 8712:2178=4
11.11.2016 лучшее решение
((3^(1/3))^(1/5))^(30)=3^(30/15)=3^2=9 9/90=1/10=0,1
10.11.2016 лучшее решение
.
10.11.2016 лучшее решение
cos(10 пи /k) < sin(10 пи /k); cos(10 пи /k) - sin(10 пи/k) < 0. По формулам приведения cos(10 пи/k)=sin ((пи/2) - (10 пи/k)). sin ((пи/2) - (10 пи/k))-sin(10 пи/k) < 0 Формула sin альфа - sin бета =2*sin(( альфа - бета)/2)* sin(альфа + бета)/2) 2*sin((пи/4) - (10 пи/k))* cos(пи/4) < 0; sin((пи/4) - (10 пи/k)) < 0 - пи +2 пи n < (пи/4) - (10 пи/k) < 0+2 пи n, n - целое - пи -(пи/4) +2 пи n < - (10 пи/k) < (- пи/4) +2 пи n , n - целое (пи/4) +2 пи m < (10 пи/k) < (5 пи/4) +2 пи m , m - целое. m=-n (1/4) +2m < (10/k) < (5/4) +2m , m - целое. При k=2 и m=2 (1/4)+4 < 5 < (5/4) + 4 - верно 17/4 < 20/4 < 21/4 При k=4 и m=1 (1/4)+2 < 10/4 < (5/4) + 2 - верно, так как 9/4 < 10/4 < 13/4 При k=8 и m=0 (1/4)+0 < 10/8 < (5/4) + 0 - неверно, так как 10/8 < 5/4 - неверно При k=9 и m=0 (1/4)+0 < 10/9 < (5/4) + 0 - верно, так как 9/36 < 40/36 < 45/36 При k=10 и m=0 (1/4)+0 < 10/10 < (5/4) + 0 - верно, так как 1/4 < 4/4 < 5/4 При k=11 и m=0 (1/4)+0 < 10/11 < (5/4) + 0 - верно, так как 11/44 < 40/44 < 55/44 При k=12 и m=0 (1/4)+0 < 10/12 < (5/4) + 0 - верно, так как 6/24 < 20/24 < 30/24 При k=13 и m=0 (1/4)+0 < 10/13 < (5/4) + 0 - верно, так как 13/52 < 40/52 < 65/52 При k=14 и m=0 (1/4)+0 < 10/14 < (5/4) + 0 - верно, так как 7/28 < 20/28 < 35/28 При k=15 и m=0 (1/4)+0 < 10/15 < (5/4) + 0 - верно, так как 15/60 < 40/60 < 75/60 При k=16 и m=0 (1/4)+0 < 10/16 < (5/4) + 0 - верно, так как 16/64 < 40/64 < 80/64 При k=40 и m=0 (1/4)+0 < 10/40 < (5/4) + 0 - неверно, так как 1/4 < 1/4 -неверно. О т в е т. k=2; 4; 9; ... 39 Всего 33
09.11.2016 лучшее решение
см. решения в приложениях
09.11.2016 лучшее решение
Пусть cosx=t, первое уравнение принимает вид: сost-cosy=(a^2+1)*(y-t) так как с одной стороны (f(b)-f(a))/(b-a)=f`(c), с ∈[a;b] С другой стороны (f(b)-f(a))/(b-a) =tg альфа, где альфа угол наклона касательной в точке с при f(z)=cosz и (cosz)`=-sinz уравнение примет вид sinc=a^2+1 Так как a^2+1 > 1 при всех а, кроме 0, при а =0 sinc =1 ⇒ c=(π/2)+2πk, k∈Z возможные корни первого уравнения, при этом cosc=0 и второе уравнение принимает вид: 2y^2=0 ⇒ y=0 Итак, при а=0 уравнение имеет корни. Первое уравнение имеет корни и при y-t=0 или при у-cosx=0 Подставим у=cosx во второе уравнение. Уравнение принимает вид 2y^2-(3a-8)y+a^2-4a=0 D=(3a-8)^2-4*2*(a^2-4a)= =9a^2-48a+64-8a^2+32a= =a^2-16a+64=(a-8)^2 y_(1)=(3a-8-a+8)/4=a/2 или y_(2)=(3a-8+a-8)/4=a-4 cosx=a/2 или cosx=a-4 Уравнения имеют корни 1) при |a/2| меньше или равно 1 ⇒ |а| меньше или равно 2. 2) при |a-4| меньше или равно 1 ⇒ 3 меньше или равно a меньше или равно 5 Уравнение имеет хотя бы один корень при х∈[-2;5] a=0 принадлежит этому отрезку. О т в е т. Система уравнений не имеет корней при х∈(-бесконечность;-2)U(5;+бесконечность).
09.11.2016 лучшее решение
1 способ. Алгебраический. Составляем уравнение. Так как количество шоколадок делилось пополам 5 раз пусть было 32х шоколадок. Тогда в первый день подарили 16х + 0,5 Остаток первого дня 16х-0,5 Во второй день подарили 8х-(0,5/2)+0,5 Остаток второго дня (16х-0,5)-(8x-(0,5/2)+0,5)=8x-(0,5/2)-0,5 В третий день подарили 4х-(0,5/4)-(0,5/2)+0,5 Остаток третьего дня 4х-(0,5/4)-(0,5/2)-0,5 В четвертый день подарили 2х-(0,5/8)-(0,5/4)-(0,5/2)+0,5 Остаток четвертого дня 2х -(0,5/8)-(0,5/4)-(0,5/2)-0,5 В пятый день подарили х-(0,5/16)-(0,5/8)-(0,5/4)-(0,5/2)+0,5 Остаток пятого дня х-(0,5/16)-(0,5/8)-(0,5/4)-(0,5/2)-0,5 Этот остаток равен 62 шоколадкам. Уравнение х-(0,5/16)-(0,5/8)-(0,5/4)-(0,5/2)-0,5=62 х=62+0,5*(1+2+4+8+16)/16 х=62+31*32 32х=32*62+31 Было 32х=2015 О т в е т. 2015 шоколадок Второй способ, арифметический. Метод решения "с конца". 62 шоколадки было отдано в 6-й день, согласно схеме это остаток 5-го дня. Значит, если остаток 4-го дня равен 2у, то в пятый день выдали у+0,5. Осталось 2у-(у+0,5)=у-0,5 - остаток пятого дня и он равен 62. у=62,5 2у=125 - остаток четвертого дня. Если остаток третьего дня равен 2z, то в четвертый день выдали z+0,5 и остаток 4-го дня равен 2z-(z+0,5)=125 z=125,5 2z=251 - остаток 3-го дня 2u - остаток второго, тогда в третий день выдали (u+0,5). u-0,5=251 u=251,5 2u=503 - остаток второго дня. 2v- остаток первого дня v+0,5 выдали во второй день, v-0,5 остаток второго дня v-0,5=503 v=503,5 2v=1007 - остаток второго дня. 2t шоколадок было в первый день t+0,5 - выдали в первый день t-0,5 - остаток первого дня t-0,5=1007 t=1007,5 2t=2015 О т в е т. 2015 шоколадок было
08.11.2016 лучшее решение
Пирамида РАВС - правильная, Δ АВС - равносторонний, высота пирамиды проектируется в точку О -центр окружности, описанной около треугольника АВС. Пусть АВ=ВС=АС=а; РА=РВ=РС=b. Тогда АО=ОВ=ОС=a*sqrt(3)/3 и по теореме Пифагора PO^2=b^2-(a*sqrt(3)/3)^2=b^2-(a^2/3)=(3b^2-a^2)/3 PO=sqrt(3b^2-a^2)/sqrt(3) V(PABC)=(1/3)*S(Δ ABC)*PO= =(1/3)*(a^2sqrt(3)/4)* sqrt(3b^2-a^2)/sqrt(3)= =a^2*sqrt(3b^2-a^2)/12 Проводим MK||AB и FE || AB - средние линии треугольника АРВ и АВС. МК=FE=a/2 Проводим KE||PC и MF || PC - средние линии треугольника АРC и BPC. КE=MF=b/2 Так как СТ - высота, медиана и биссектриса равностороннего треугольника, СТ⊥АВ и OC - проекция PС, то по теореме о трех перпендикулярах РС⊥АВ Значит и прямые параллельные РС перпендикулярны АВ. KE⊥МК и MF⊥МК ЕFМК - прямоугольник со сторонами (а/2) и (b/2). Пирамида NEFMK ( см. рис. 2), ребра которой NE=NK=a/2 NF=NM=b/2 Равные наклонные имеют равные проекции, поэтому ED=DK и FD=MD , точка D принадлежит оси симметрии прямоугольника QL: EQ=QK=b/4 D- основание высоты ND. Пусть QD=x, тогда DL=(a/2)-x Из прямоугольного треугольника EDN: ED^2=(b/4)^2+x^2 Из прямоугольного треугольника NDF: DF^2=(b/4)^2+((a/2)-x)^2 ND^2=NE^2-ED^2 и ND^2=NF^2-DF^2. Приравниваем правые части и находим QD: QD=(2a^2-b^2)/4a. Тогда ND^2=(3a^2b^2-b^4)/16a^2 ND=b*sqrt(3a^2-b^2)/4a v(NEFMK)=(1/3)*S(EKMF)*ND=(ab/12)*(b*sqrt(3a^2-b^2)/4a)=b^2*sqrt(3a^2-b^2)/48 Не совсем так как надо. Должно получиться (1/4)*(a^2*sqrt(3b^2-a^2)/12)= =a^2*sqrt(3b^2-a^2)/48.
08.11.2016 лучшее решение
По условию N - пятизначное и N - кратно 12, значит N - четное, сумма цифр этого числа делится на 3, две последние цифры кратны 4. А) Да, например 23 784 кратно 12 сумма цифр числа 2+3+7+8+4=24 кратна 12 Б) 10 008 - наименьшее пятизначное число, кратное 12. но сумма его цифр 1+8 =9 не кратна 12. 10 056 - наименьшее число, которое кратно 12 и сумма его цифр 1+5+6=12 кратна 12 В) 99 996 - наибольшее пятизначное число, кратное 12, но сумма цифр этого числа 9+9+9+9+6=42 не кратна 12. 99 972 кратно 12 и сумма цифр этого числа 9+9+9+7+2 =36 кратна 12 Г)Пять одинаковых цифр в записи числа быть не может. Так как N - четное, то надо проверить числа, в которых все пять цифр 2 или 4 или 6 или 8 22 222 не кратно 3 44 444 не кратно 3 66 666 не кратно 4 88 888 сумма цифр числа 8+8+8+8+8=40 не кратна 12. Пусть четыре цифры одинаковые. Число четное. 222*2 -четное, чтобы было кратно 4 вместо * можно ставить 1; 3; 5; 7; 9 у числа 22212 сумма цифр 9; у числа 22232 сумма цифр 11 и т .д 444*4 есть вариант 44484 44484 кратно 12 и сумма цифр 4+4+4+8+4=24 кратна 12. Наибольшее число одинаковых цифр - четыре. 88848 кратно 12 и сумма цифр 8+8+8+4+8=36 кратна 12. О т в е т. Два числа
08.11.2016 лучшее решение
О т в е т. Р=АВ+ВС+АС=2+2+2=6
08.11.2016 лучшее решение
18-10=8
08.11.2016 лучшее решение
ОДЗ: логарифм нуля не существует, поэтому x≠±2 x∈(-бесконечность; -2)U(-2;2)U(2 ;+бесконечность). Замена переменной log_(2)|x^2-4|=t, так как |x^2-4|=|4-x^2| log^2_(2)|4-x^2|=t^2 Квадратное уравнение t^2-2at+a+6=0 имеет ровно два корня при любых значениях а, так как D=(-2a)^2-4*(a+6)=4a^2-4a-24=4(а^2-a-6) > 0 (а+2)(а-3) > 0 a∈(-бесконечность;-2)U(3;+ бесконечность) Пусть корни t1 и t2. Обратная замена приводит к уравнениям log_(2)|x^2-4)|=t_(1) или log_(2)|x^2-4)|=t_(2) x^2-4=±2^(t_(1)) или x^2-4=±2^(t_(2)) Так как 2^(t_(1)) > 0 и 2^(t_(2)) > 0 при любых t1 и t2, то каждое из уравнений x^2=4+2^(t_(1)) и x^2=4+2^(t_(2)) имеет по два корня. Всего 4 корня. Чтобы выполнялось требование задачи, два других уравнения не должны иметь корней. Для этого необходимо, чтобы 4-2^(t_(1)) и 4-2^(t_(2)) были отрицательными числами, значит оба корня t1 и t2 должны быть больше двух. Найдем при каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения t^2-2at+a+6=0 больше двух. Необходимо и достаточно выполнения трех условий: 1) D > 0 2) f(2) > 0, где f(t)=t^2-2at+a+6 3) t_(в) > 2, t_(в)=(2а/2)=a - абсцисса вершины параболы f(t)=t^2-2at+a+6 (см. рисунок) 1) a∈(-бесконечность;-2)U(3;+ бесконечность) 2) 2^2-4a+a+6 > 0 3) a > 2 Из системы неравенств: { a∈(-бесконечность;-2)U(3;+ бесконечность) {-3a+10 > 0 { a > 2 или { a∈(-бесконечность;-2)U(3;+ бесконечность) {a < 10/3 {a > 2 получаем ответ О т в е т. (3;10/3)
07.11.2016 лучшее решение
к) x=2 3^2+4^2=5^2, других корней уравнение не имеет. График функции y=3^x+4^x при x < 2 ниже графика функции у=5^x. График функции y=3^x+4^x при x > 2 выше графика функции у=5^x. О т в е т. х=2 е) ОДЗ:cosx≠0 tg^2x=(1/cos^2x)-1 Замена переменной 2^(1/cos^2x)=t 4^(1/cos^2x)=t^2 Уравнение принимает вид: (t^2/4)+8-3t=0; t^2-12t+32=0 D=(-12)^2-4*1*32)=144-128=16 t=(12-4)/2=4 или (12+4)/2=8 2^(1/cos^2x)=2^2 или 2^(1/cos^x)=2^3 cos^2x=1/2 или cos^2x=1/3 cosx=sqrt(2)/2 cosx=-sqrt(2)/2 cosx=(-sqrt(3)/3) cosx=sqrt(3)/3 О т в е т. ±(π/4)+2πk, k∈ Z ±(3π/4)+2πn, n∈ Z ±(arcsin(sqrt(3)/3)+2πm, m∈ Z ±(π-arcsin(sqrt(3)/3) )+2πp, p∈ Z. г) Замена переменной: 3x+3–x=t Возводим в квадрат 32x+2+3–2x=t2 32x+3–2x=t2–2 3·(32x+3–2x)=3t2–6 32x+1+31–2x)=3t2–6 Уравнение принимает вид 3t2–6–7t=4 3t2–7t–10=0 D=49+120=169 t=(7–13)/6=–1 или t=(7+13)/6=10/3 Возвращаемся к переменой х: 3x+3–x=–1 Уравнение не имеет корней, так как показательная функция принимает только положительные значения, 3x > 0 и 3–x=(1/3)x > 0 3x+3–x=10/3 Замена переменной 3x=u 3–x=1/u u+(1/u)=10/3 3u2–10u+3=0 D=100–36=64 u=(10–8)/6=1/3 или u=(10+8)/6=3 3x=1/3 или 3x=3 x=–1 или х=1 О т в е т. –1; 1
06.11.2016 лучшее решение
1. ОДЗ: х^2-3 больше или равно 0; х∈(-бесконечность; -sqrt(3))U(sqrt(3);+бесконечность) 3^(sqrt(x^2-3)-1)=3^(sqrt(x^2-3))*(3^(-1))= =(1/3)*3^(sqrt(x^2-3)) Замена переменной: 3^(sqrt(x^2-3))=t =(1/9)^(-sqrt(x^2-3))=(3^(-2))^(-sqrt(x^2-3))= =(3^(sqrt(x^2-3)))^2 =t^2 Неравенство принимает вид 3t^2-28t+9 меньше или равно 0 D=28^2-4*3*9=784-108=676=26^2 t=(28+26)/6=9 или t=(28-26)/6=1/3 (1/3) меньше или равно t меньше или равно 9 (1/3) меньше или равно 3^(sqrt(x^2-3)) меньше или равно 9 3^(-1)меньше или равно 3^(sqrt(x^2-3)) меньше или равно 3^2 -1 меньше или равно sqrt (x^2-3) меньше или равно 2 Так как sqrt (x^2-3) больше или равно 0 при любом х из ОДЗ, то sqrt (x^2-3) меньше или равно 2. Возводим в квадрат x^2-3 меньше или равно 4 x^2 меньше или равно 7 -sqrt(7) меньше или равно x меньше или равно sqrt(7) С учетом ОДЗ получаем ответ (-sqrt(7); -sqrt(3))U(sqrt(3); sqrt(7)). 2. 2^(x+3)-7*2^(x-2) < 5^x-3*5^(x-1)4; 2^x*(2^3 -(7/4)) < 5^x*(1-(3/5)); (2/5)^x < (2/5)^3 Показательная функция с основанием 0 < (2/5) < 1 убывающая, поэтому x > 3 О т в е т. х∈(3;+ бесконечность). 3. 2^(x+2)+2^x меньше или равно 4; 2^x*(2^2+1)меньше или равно 4; 2^x меньше или равно (5/4); x меньше или равно log_(2)(5/4). О т в е т. x∈(-бескнечность; log_(2)(5/4)). 4. ОДЗ:3^x-9 больше или равно 0 3^x больше или равно 9 x больше или равно 2 sqrt(3^x*(3^x-9)) > 3^x-9. Возводим в квадрат 3^x*(3^x-9) > (3^x-9)^2 (3^x-9)*(3^x-3^x+9) > 0 3^x-9 > 0 3^x > 9 x > 2 О т в е т. х∈(2;+ бесконечность). 5. (sqrt(2)+1)*(sqrt(2)-1)=1 Это взаимно обратные числа sqrt(2)+1=1/(sqrt(2)-1) Неравенство можно записать в виде: (sqrt(2)+1)^((6x-6)/(x+1)) меньше или равно (sqrt(2)+1)^x. Так как основание показательной функции sqrt(2)+1 > 1, функция возрастает (6х-6)/(x+1) больше или равно х (6x-6-x^2-x)/(x+1) больше или равно 0 (x^2-5x+6)/(x+1) меньше или равно 0 (x-3)(x-2)/(x+1)меньше или равно 0 __-_ (-1) __+__[2]___-__[3]__+__ О т в е т. х∈(-бесконечность; -1)U[2;3].
06.11.2016 лучшее решение
R=13 Основания цилиндра параллельны. Если плоскость пересекает основания, то хорды параллельны. КТ=√730≈27 Это означает, что расстояние между серединой одной хорды и проекцией середины другой хорды по теореме Пифагора d^2=730-21^2=289 d=17 > R=13 Поэтому точка К и проекция точки Т расположены по разные стороны от диаметра, параллельного этим хордам и лежащего в нижней полуплоскости. Поэтому плоскость и пересекает ось цилиндра в точке М. Диаметр FE, перпендикулярный хорде AB, делит хорду пополам. Из прямоугольного треугольника КОВ по теореме Пифагора ОК=5 Диаметр QG, перпендикулярный хорде CD, делит хорду пополам. Из прямоугольного треугольника PGD PT=12 5+12=17 Прямоугольные треугольники КМО и МРG подобны по двум углам. Вертикальные углы КМО и РМG равны. Из подобия МО:МР=КО:PG x:5=(21-x):12 x=105/17 tg∠МКО=МО/КО=(105/17):5=21/17 ∠МКО=arctg(21/17). Можно из треугольника КТТ1 найти tg ∠ТКТ1= ТТ1/КТ1=21/17. О т в е т. arctg(21/17).
03.11.2016 лучшее решение
см. решения в приложении
02.11.2016 лучшее решение
Числа 1, 2, ..., 9 записываются в случайном порядке. Найти вероятности указанных событий. А = {на четных местах в ряду записаны четные числа}. В = {сумма каждых двух чисел, стоящих на одинаковом расстоянии от концов, равна 10} Решение. Применяем классическое определение вероятности. Вероятность равна отношению числа всех исходов испытания к числу исходов, благоприятствующих наступлению события. 1) Общее число исходов испытания равно размещению 9 чисел на 9 мест. Это число равно 9! способов. n=9! Событию А благоприятствуют те исходы, при которых четные числа (а их 4) стоят на четных местах. Из девяти чисел выбираем 4 - сочетание из 9 по 4 и размещаем 4 цифры на 4 местах. m=4!*C^4_(9)=4!*9!/(4!*5!)=9!/5! р=m/n=(9!/5!)/9!=1/5! 2)Считаем исходы благоприятствующие наступлению события В 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Число 5 на пятом месте, ему нет пары. пары 1 и 9 ; 2 и 8; 3 и 7; 4 и 6 Их всего 4 Расставляются на 4 места m=4*4! p=m/n=4*4!/9! О т в е т. 1) 1/5!=1/120≈0,0083 2) р=1/3780≈0,00027
02.11.2016 лучшее решение
DF1+DF2=r1+r2=2a DF1=DF2=a c=asin(α/2) ε=c/a=sin(α/2)
01.11.2016 лучшее решение
Изображение
01.11.2016 лучшее решение
1) Раскрываем знак модуля. Подмодульные выражения обращаются в 0 в точках х=±3 и х=±2 Эти точки разбивают числовую прямую на 5 промежутков. Раскрываем знаки модулей на каждом: (-бесконечность;-3] х^2-9+x^2-4=5 2x^2=18 x^2=9 x=±3 Рассматриваемому промежутку принадлежит -3. (-3;-2] -х^2+9+x^2-4=5 5=5- верно Все точки рассматриваемого промежутка являются корнями уравнения. (-2;2] -х^2+9-x^2+4=5 2x^2=8 x^2=4 x=±2 Рассматриваемому промежутку принадлежит 2. (2;3] -х^2+9+x^2-4=5 5=5- верно Все точки рассматриваемого промежутка являются корнями уравнения (3;+ бесконечность) х^2-9+x^2-4=5 2x^2=18 x^2=9 x=±3 Рассматриваемому промежутку не принадлежит ни-3, ни 3. О т в е т. [-3;-2]U[2;3] 2) Область определения определяется системой: {-1 меньше или равно х+1 меньше или равно 1 {9-x^2 > 0 {log_(2)sqrt(9-x^2)≠0 ⇒ 9-x^2≠2^0 {-2 меньше или равно x меньше или равно 0 {(-3;3) {x≠±2sqrt(2) О т в е т. [-2;0] 3) четная. Область определения симметрична относительно 0 Выполняется равенство f(-x)=f(x) f(-x)=((-x)^4-2(-x)^2+1)/ln|-x| = =(x^4-2x^2+1)/ln|x|=f(x)
31.10.2016 лучшее решение
А)Плоскости АВС1 и АСВ1 имеют общую точку А и общую точку К-точку пересечения прямых ВС1 и В1С, поэтому пересекаются по прямой АК. Проекцией АК является AF, F- середина ВС. АF⊥ВС, по теореме о трех перпендикулярах АК⊥ВС, ВС || В1С1 ⇒ АК ⊥ В1С1, что и требовалось доказать. Б)Чтобы построить угол между плоскостями АВС1 и АСВ1 проводим перпендикуляры из точки В1 на АК и из точки С1 на АК. Поскольку треугольники АВ1К и АС1К тупоугольные, высоты проводим на продолжение АК. ∠В1РС1- угол между плоскостями АВС1 и АСВ1 АВ1=В1С=АС1=ВС1=2sqrt(2) - диагонали боковых граней призмы, квадратов. Из равнобедренного треугольника АВ1С: cos∠AB1C=3/4 sin∠AB1C=sqrt(7)/4 Из треугольника АВ1К по теореме косинусов АК=2 S(Δ АВ1К)=(АВ1•В1К•sin∠AB1C)/2=sqrt(7)/2 S(Δ АВ1К)=AK•B1P/2 ⇒ B1P=sqrt(7)/2 Из равнобедренного треугольника B1PC1 по теореме косинусов (B1C1)^2=(B1P)^2+(C1P)^2-2•(B1P)•(C1P)•cos∠В1РС1 cos∠В1РС1=3/7 О т в е т. ∠В1РС1=arccos(3/7).
30.10.2016 лучшее решение
ОДЗ: {2+x > 0, 2+x≠1 {2-x > 0, 2-x≠1 или {x > -2, x≠-1 {x < 2, x≠1 ОДЗ: х∈(-2;-1)U(-1;1)U(1;2) Применяем формулу перехода к другому основанию. (log_(3)(1/3)/log_(3)(2+x))+(log_(3)(3)/log_(3)(2-x)) меньше или равно 0. 1/log_(3)(2-x) меньше или равно 1/log_(3)(2+x); или log_(3)((2+x)/(2-x))/(log_(3)(2-x)•log_(3)(2+x))меньше или равно 0 Получаем совокупность двух систем {log_(3)(2+x)/(2-х) больше или равно 0 {log_(3)(2+x)•log_(3)(2-x) < 0 или {log_(3)(2+x)/(2-x) меньше или равно 0 {log)(3)(2+x)• log_(3)(2-x) > 0 Решаем первую систему Она равносильна совокупности двух систем: 1) {log_(3)(2+x)/(2-x) больше или равно 0 {log_(3)(2+x) > 0 ⇒ x > -1 {log_(3)(2-x) < 0 ⇒ x > 1 (2+x)/(2-x) больше или равно 1⇒ 2x/(2-x)больше или равно 1 ____[0]__+__ (2) ___ решение 1)(1;2) или 2) {log_(3)(2+x)/(2-x) больше или равно 0 {log_(3)(2+x) < 0 ⇒ x < -1 {log_(3)(2-x) > 0 ⇒ x < 1 нет решений 2) Решаем вторую систему, которая также равносильна совокупности двух систем. 3) {log_(3)(2+x)/(2-x) меньше или равно 0 {log_(3)(2+x) > 0 ⇒ x > -1 {log_(3)(2-x) > 0 ⇒ x < 1 решение 3) (-1;0] или 4) {log_(3)(2+x)/(2-x) меньше или равно 0 {log_(3)(2+x) < 0 ⇒ x < -1 {log_(3)(2-x) < 0 ⇒ x > 1 нет решений 4) Объединяя четыре ответа, с учетом ОДЗ получаем ответ. О т в е т. (-1;0]U(1;2)
30.10.2016 лучшее решение
Ecли какое-то число a при делении на число b дает остаток d, то это можно записать в виде равенства a=br+d r- частное, d- остаток, [b]1≤d < b[/b] r - частное нас не интересует. И его не пишем. Возводим в степень: a^(n)=(br+d)^(n) Справа все слагаемые кроме последнего содержат b ( или b в какой-то степени и потому кратны b) Остаток от деления a^(n) на b равен остатку от деления d^(n) на n. а) Найдите остаток от деления 2013^(2014) на 5. 2013:5= ( остаток 3) Остаток от деления 2013^(2014) на 5 равен остатку от деления 3^(2014) на 5. Представим 3^(2014) как (3^4)^(503)•3^2 Остаток от деления 3^4 на 5 равен 1 (81:5= остаток1) Остаток от деления (3^4)^(503) равен 1^(503)=1 Остаток от деления 9 на 5 равен 4 О т в е т. 4 б) Найдите остаток от деления 2015^(2016) на 3. 2015:3= ( остаток 2) Остаток от деления 2015^(2016) на 3 равен остатку от деления 2^(2016) на 3. Представим 2^(2016) как (2^2)^(1008) Остаток от деления 2^2 на 3 равен 1 (4:3= остаток1) Остаток от деления (2^2)^(1008) равен 1^(1008)=1 О т в е т. 1 в) Найдите остаток от деления 2010^(2011) на 17. 2010:17= ( остаток 4) Остаток от деления 2010^(2011) на 17 равен остатку от деления 4^(2011) на 17. Представим 4^(2011) как (4^4)^(502)•4^3 Остаток от деления 4^4 на 17 равен 1 (256:17=... остаток 1) Остаток от деления (4^4)^(502) на 17 равен 1 (256:17=... остаток 3) Остаток от деления 4^3 на 17 равен 13 (64:17=... остаток 13) О т в е т. 13
30.10.2016 лучшее решение
V:v=R^3:r^3=6^3:1^3=216 О т в е т. 216
29.10.2016 лучшее решение
a_(k+2) = 2a_(k+1)–a_(k)–1. а) n=5 k ≤ n–2 ⇒ k ≤ 5-2 ⇒ k ≤ 3 k=1 a_(3) = 2a_(2)–a_(1)–1. k=2 a_(4) = 2a_(3)–a_(2)–1=2•(2a_(2)–a_(1)–1)-a_(2)–1= =4a_(2)-2a_(1)-2-a_(2)-1=3a_(2)-2a_(1)-3 k=3 a_(5) = 2a_(4)–a_(3)–1=2•(3a_(2)-2a_(1)-3)- (2a_(2)–a_(1)–1)-1=6a_(2)-4a_(1)-6-2a_(2)+a_(1)+1-1= =4a_(2)-3a_(1)-6 a_(5)=4 значит 4a_(2)-3a_(1)-6=4 или 4a_(2)-3a_(1)=10 Равенство возможно при a_(1)=2; a_(2)=4 4a_(2)-3a_(1)=4•4-3•2=10 Тогда а_(3)=5; а_(4)=5; а_(5)=4; а_(6)=2 Следующие члены последовательности отрицательные, не являются натуральными. а) О т в е т. да. б) Можно проследить закономерность и написать формулу общего члена этой последовательности. a_(k+2) = (k+1)a_(2)–ka_(1)–(1+2+...k). Два элемента могут быть равны. Пусть a_(1)=a_(2), тогда a_(3)=a_(2)-1 a_(4)=a_(2)-3 a_(5)=a_(2)-6 как видим последовательность уменьшается и наступит такой момент, когда ее следующие элементы не будут существовать, так как они отрицательны. см. предыдущий пример. a_(3)=a_(4) но а_(6)- последний элемент последовательности. в) Все элементы последовательнсти, начиная с первого и до последнего - трехзначные числа: {100 ≤ a_(1) ≤999 {100 ≤ a_(2) ≤999 {100 ≤ a_(k+2) ≤999 Заменим a_(k+1) на (k+1)a_(2)–ka_(1)–(1+2+...k) 100≤(k+1)a_(2)–ka_(1)–(1+2+...k)≤999 1+2+...+k=(1+k)k/2 Пусть a_(1)=100 - наименьшее трехзначное число. При a_(1)=997; a_(2)=998 получим a_(44)=137 a_(45)=95 не трехзначное. О т в е т. n=44
29.10.2016 лучшее решение
Пусть окружность с центром О касается прямой в точке А и R=OА=ОL=8. Окружность с центром P касается прямой в точке В и r= PВ=PL=2. OP=10 В прямоугольной трапеции ОАВР находим высоту АВ: АВ^2=10^2-(8-2)^2=10^2-6^2=8^2 AB=8. а) Проведем через точку L общую касательную к двум окружностям. M- точка пересечения общей касательной с АВ. По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки отрезки касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. Значит АM=ML и ML=MB, тогда АM=MB. LM - медиана ΔАВК и ML=АВ/2, значит ΔАВК прямоугольный (угол АКВ - прямой) Следовательно, прямые АС и BD пересекаются под прямым углом, значит вписанные углы АLD и ВLС равны 90° и опираются на диаметры. АD и ВС - это диаметры окружностей. Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания, тогда АD ⊥АВ, ВС⊥АВ АD || ВС б) Диаметры АD=16, ВС=4 Прямоугольные ΔАLD и ΔСLВ подобны по острому углу (∠DАL=∠ВСL как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АD и ВС и секущей АС). Значит АL/LС=DL/LВ=АD/ВС=16/4=4 ⇒DL=4LB AL- высота прямоугольного треугольника DAB AL^2=DL•LB AL^2=4LB•LB ⇒ AL=2LB По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ALB: AL^2+LB^2=AB^2 4LB^2+LB^2=8^2 LB^2=64/5 S(Δ ALB)=AL•LB/2=2LB•LB/2=LB^2=64/5=12,8 О т в е т. S(Δ ALB)=12,8
28.10.2016 лучшее решение
1) 7–√24=7–2√6=1–2√6+6=(1–√6)^2=(√6–1)^2 √7–√24=sqrt((√6–1)^2)=|√6–1|=√6–1 7+√24=7+2√6=1+2√6+6=(1+√6)^2=(√6+1)^2 (7+√24)^(4/8)=sqrt((√6+1)^2)=|√6+1|=√6+1 О т в е т. √6–1–(√6+1)=–2 2) ОДЗ:sinx больше или равно 0⇒ х в первой или во второй четверти. Перенесем все слагаемые влево и приравняем к нулю. Выносим за скобки корень четвертой степени из синуса х. В скобках (4cos^2x-3) Провизведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а второй при этом не теряет смысл. sinx=0 x=πk, k- целое. 4 сos^x=3 cosx=sqrt(3)/2 или х=-sqrt(3)/2 х=(±π/6)+2πn, n- целое или х=(±5π/6)+2πm, m- целое С учетом ОДЗ х=(π/6)+2πn, n- целое или х=(5π/6)+2πm, m- целое О т в е т. х=(π/6)+2πn, n- целое или х=(5π/6)+2πm, m- целое или x=πk, k- целое. 3)ОДЗ: х^2-6x больше или равно 0 Решаем первое уравнение. 3siny=1-2sin^2y+1 2sin^2y+3siny-2=0 siny=1/2 Тогда сosy=-sqrt(3)/2 или сosy=sqrt(3)/2 Второму уравнению системы удовлетворяет второе значение, арифметический квадратный корень равен положительному числу. Значит, у в первой четверти. Уравнение siny=1/2 при этих условиях имеет корни у=(π/6)+2πk, k- целое.Второе уравнение при этом принимает вид sqrt(x^2-6x)=3sqrt(3) Возводим в квадрат. х^2-6x-27=0 D=36+108=144 x=-3 или х=9 Оба корня удовлетворяют условию х^2-6x больше или равно 0. О т в е т. (-3; (π/6)+2πk, k- целое) или (9; (π/6)+2πk, k- целое)
27.10.2016 лучшее решение
В уравнении два модуля, каждый раскрывается двумя способами. Надо рассмотреть 4 случая: 1) оба подмодульных выражения положительны 2) оба подмодульных выражения отрицательны 3) первое подмодульное выражение положительно, второе отрицательно 4) первое подмодульное выражение отрицательно, второе положительно. Одна из четырех систем не будет иметь решения. А именно та, при которой 1-2х < 0 а 2-5х > 0 Так как множества x > 1/2 и х < 2/5 не пересекаются Поэтому рассматривают сразу только три случая. Для этого применяют метод интервалов. Подмодульные выражения 1-2х и 2-5х обращаются в 0 в точках х=1/2 и х=2/5 Эти точки разбивают числовую прямую на 3 промежутка. Раскрываем знак модуля на каждом 1) x меньше или равно 2/5 |1-2х|=1-2x и |2-5x|=2-5x ( при х=0 устно считаем, что первое выражение равно 1, второе 2, оба подмодульных выражения положительны, значит и на всем промежутке положительны) Уравнение принимает вид: 1-2х=4х-(2-5х) 1-2х=4х-2+5х -7х=-3 х=3/7 3/7 > 2/5 так как 15/35 > 14/35 Уравнение не имеет корней. 2)2/5 < x меньше или равно 1/2 |1-2x|=1-2x |2-5x|=-2+5x Уравнение 1-2х=4х-(-2+5х) 1-2х=4х+2-5х -х=1 х=-1 -1 не принадлежит интервалу (2/5; 1/2) нет корней 3) х > 1/2 |1-2x|=-1+2x |2-5x|=-2+5x -1+2x=4x-(-2+5x) -1+2x=4x+2-5x 3x=3 x=1 1 > 1/2 О т в е т. х=1
26.10.2016 лучшее решение
Рассуждаем логически и применяем метод перебора. а)Сумма длин палочек 2+3+4+5+6=20. Значит периметр треугольника 20. Возможны варианты: одна сторона 2; две другие 9 одна сторона 4; две другие 8 одна сторона 6; две другие 7 одна сторона 8; две другие 6 Других вариантов нет ( треугольник 10; 5 и 5 - вырождается в отрезок). Теперь проверяем как получить такие стороны, используя имеющиеся палочки 2; 9=4+5; 9=3+6 4; 8=3+5; 8=2+6 6; 7=2+5; 7=3+4 8=3+5; 6; 6=2+4 О т в е т. да, 4 варианта равнобедренных треугольников. б) По теореме, обратной теореме Пифагора, если a^2+b^2=c^2, то треугольник АВС - прямоугольный. Треугольники со сторонами 2; 3; 4+5+6 2; 4; 3+5+6 2; 5; 3+4+6 2; 6; 3+4+5 не существуют. Не выполняется неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других. Стороны больше, чем 10 быть не может Проследив за квадратами, 2^2=4 3^2=9 4^2=16 5^2=17 6^2=36 7^2=49 8^2=64 9^2=81 Только 3^2+4^2=5^2 но при этом не все палочки использованы. О т в е т. Нет. в) S=sqrt(p•(p-a)(p-b)(p-c) p=10 Наименьшее значение S при наименьшем значении произведения 10•(10-a)(10-b)(10-c) Ясно, что каждая сторона меньше 10 при a=b=9; c=2 произведение 10•(10-9)•(10-9)•(10-2)=80 - наименьшее значение при a=9;b=8; c=3 произведение 10•(10-9)•(10-8)•(10-3)=140 произведение увеличивается при a=9;b=7; c=4 произведение 10•(10-9)•(10-7)•(10-4)=180 произведение увеличивается. О т в е т. Равнобедренный треугольник 2;9;9 имеет наименьшую площадь.
25.10.2016 лучшее решение
Вневписанная окружность - окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Центр этой окружности - точка пересечения биссектрис внешних углов. При этом треугольник - произвольный. В условии задачи речь идет об основании и боковой стороне. Значит, треугольник АВС - равнобедренный. АВ=ВС. Тогда высота ВН- равнобедренного треугольника АВС является и биссектрисой угла В, поэтому биссектрисы смежных углов ОВ и ВН - взаимно перпендикулярны. Четырехугольник ОМВН - прямоугольник. ВН=ОМ б) Радиус окружности равен 4, значит по доказанному в а) ВН=4 и по условию АС·АВ = 30. Так как треугольник АВС - равнобедренный, АС=2АН. Тогда условие принимает вид: АС·АВ=АB·2АН; АB·2АН=30; АB·АН=15 ⇒ АB=15/AH. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВН: АВ^2=АН^2+ВН^2 (15/AH)^2=AH^2+4^2 Биквадратное уравнение АН^4+16AH-225=0 D=16^2+4·225=256+900=1156=34^2 AH^2=(-16+34)/2=9 AH=3 S(Δ АВС)=АС·ВН/2=(AC/2)·ВН=AH·ВН=3·4=12 О т в е т. 12
25.10.2016 лучшее решение
Строим график у=|5/x -3| на (0;+ бесконечность) y=2ax-2 - задает прямую. При a=0 прямая y=-2 параллельна оси Ох и не имеет общих точек с графиком. Исключим те значения параметра а, при которых прямая имеет более одной точки пересечения с графиком. Одна такая прямая проходит через точку (5/3) на оси Ох Подставляем координаты это точки в уравнение прямой и находим граничное значение а. 0=2а•(5/3)-2 ⇒ а=0,6 Прямые имеющие коэффициент а несколько больше чем 0,6 будут иметь две точки пересечения с графиком. До какого значения а это будет продолжаться? Найдем это граничное значение а, при котором прямая у=2ах-2 является касательной к кривой у=(-5/х)+3. Напишем уравнение касательной к кривой у=(-5/x+3), в точке х_(0)=c, которая проходит через точку (0;-2) f`(x)=5/x^2 f`(c))=5/c^2 y-((-5/c) +3)=(5/c^2)•(x-c) Так как точка (0;-2) принадлежит касательной -2+(5/с)-3=(5/с^2)•(-c)⇒ c=2 f(2)=(-5/2)+3=1/2 Прямая у=2ax-2 проходит через точку (2;1/2) найдем при каком а 1/2=2a•2-2 a=0,625 О т в е т. а∈(0;0,6)U(0,625;+бесконечность)
24.10.2016 лучшее решение
Пусть через t часов расстояние между автомобилями будет наименьшим. Тогда первый проедет 80t км и окажется на расстоянии |100-80t| км от перекрестка, второй проедет 60е км и окажется на расстоянии |100-60t| км от перекрестка. По теореме Пифагора d(t)=sqrt((100-80t)^2+(100-60t)^2) Исследуем функцию на экстремум. Для этого достаточно исследовать подкоренное выражение s(t)=(100-80t)^2+(100-60t)^2 s(t)=100•((10-8t)^2+(10-6t)^2) s(t)=100•(100-160t+64t^2+100-120t+36t^2) s(t)=100•(100-160t+64t^2+100-120t+36t^2) s(t)=2000•(5t^2-14t+10) s`(t)=2000•(10t-14) s`(t)=0 при t=1,4 t=1,4 - точка минимума, производная при переходе через точку меняет знак с - на +. s`(1)=-8000 < 0 s`(2)=12000 > 0 За 1,4 часа=1 час 4/10=1 час 24/60 = 1 час 24 минуты первый автомобиль проедет 80•1,4=112 км и окажется на расстоянии |100-112|=12 км от перекрестка Второй автомобиль проедет 60•1,4=84 км и окажется на расстоянии |100-84|=16 км от перекрестка По теореме Пифагора d=sqrt(12^2+16^2)=sqrt(144+256)=sqrt(400)=20 км О т в е т. через 1 час 24 минуты наименьшее расстояние между автомобилями 20 км
23.10.2016 лучшее решение
a^2+11•|x+2|+3sqrt(x^2+4x+13) = 5a+2•|x–2a+2|; 3sqrt((x+2)^2+9)=2•|x–2a+2|-11•|x+2|+5a-a^2. Замена переменной х+2=t 3sqrt(t^2+9)=2•|t–2a|-11•|t|+5a-a^2. Введем в рассмотрение функции f(t)=3sqrt(t^2+9) и g(t)=2•|t–2a|-11•|t|+5a-a^2. Функция f(t) определена при t∈(-∞;+∞) f`(t)=3t/sqrt(t^2+9) f`(t) < 0 при t < 0 и f`(t) > 0 при t > 0. t=0 - точка минимума функции f(t) f(0)=3sqrt(0^2+9)=9 g(t) кусочно-линейная непрерывная функция, имеет производную при всех t ∈(-∞;+∞) , кроме t=0 и t=2a При t больше или равно 0 {2(t-2a)-11t+5a-a^2,если t-2a больше или равно 0 g(t)= {2(-t+2a)-11t+5a-a^2,если t-2a < 0. или {-9t+a-a^2,если t-2a больше или равно 0 g(t)= {-13t+9a-a^2,если t-2a < 0. {-9, если t-2a больше или равно 0 g`(t)= {-13, если t-2a < 0 Функция g(t) убывает при t больше или равно 0. При t < 0 {2(t-2a)+11t+5a-a^2,если t-2a больше или равно 0 g(t)= {2(-t+2a)+11t+5a-a^2,если t-2a < 0. или {13t+a-a^2,если t-2a больше или равно 0 g(t)= {9t+9a-a^2,если t-2a < 0. {13, если t-2a больше или равно 0 g`(t)= {9, если t-2a < 0 Функция g(t) возрастает при t < 0 Уравнение f(t)=g(t) имеет хотя бы одну корень, если графики функций у=f(t) и у=g(t) пересекаются хотя бы в одной точке. Чтобы графики функций у=f(t) и у=g(t) пересекались хотя бы в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: f(0)меньше или равно g(0). 9 меньше или равно 2|0-2a|-11|0|+5a-a^2 или 9 меньше или равно 4|a|+5a-a^2, которое заменим совокупностью двух систем 1){a больше или равно 0; {a^2-9a+9 меньше или равно 0. 2){a < 0; {a^2-a+9 меньше или равно 0 О т в е т. [(9-3sqrt(5))/2; (9+3sqrt(5))/2]
23.10.2016 лучшее решение
В каждой области в сутки вырабатывают 250•5=1250 человеко-часов. На первом заводе 1 рабочий за 1 час добывает 0,1 кг алюминия,значит на добычу 1 кг алюминия тратится 10 человеко-часов. 250 рабочих за 5 часов добывают 1250:10=125 кг алюминия. На первом заводе 1 рабочий за 1 час добывает 0,2 кг никеля,значит на добычу 1 кг никеля тратится 5 человеко-часов. 250 рабочих за 5 часов добывают 1250:5=250 кг никеля. Никель добывать выгоднее. Пусть на втором заводе в сутки добывают х кг алюминия и у кг никеля. На выработку алюминия тратится х^2 человеко-часов и на выработку никеля тратится у^2 человеко-часов. Общее количество затраченных при этом человеко-часов равно 1250. Уравнение: х^2+y^2=1250. Общая масса добытого металла f(x;y)=x+y. Заменим у на sqrt(1250-x^2) Найдем наибольшее значение функции f(x)=x+ sqrt(1250-x^2) на [0; sqrt(1250)]. f`(x)=1+(1/2sqrt(1250-x^2))•(-2x); f`(x)=1-(x/sqrt(1250-x^2)); f`(x)=0 sqrt(1250-x^2)=x. Возводим в квадрат 1250-x^2=x^2; x^2=625 x=25 На [0; sqrt(1250)] х=25 является точкой максимума, так как производная меняет знак с + на -. f`(15)=1-(15/sqrt(1025)) > 0 f`(20)=1-(30/sqrt(350)) < 0 f(25)=25+sqrt(1250-25^2)=25+sqrt(1250-625)= =25+sqrt(625)=25+25=50 кг - наибольшее количество металла, которое можно добыть за сутки во второй области. А в первой области наибольшее количество металла - 250 кг никеля. Суммарное количество S=250+50=300 кг О т в е т. 300 кг
23.10.2016 лучшее решение
Пусть с – наибольшая сторона треугольника, а-наименьшая. Согласно «неравенству треугольника» каждая сторона треугольника меньше суммы двух других. c < a+b - условие (1) По теореме косинусов c^2=a^2+b^2-2abcos ∠C ⇒ так как угол С- тупой, косинус тупого угла отрицательный, поэтому сумма трех положительных чисел больше сумма первых двух. c^2 > a^2+b^2 – условие (2) a) найдем такие с и a, что с/a=3/2 c-наибольшая, a – наименьшая сторона. Третья сторона a < b < c. Пусть с=15; a=10; b=11 Проверяем первое условие b+a > c: 11+10 > 15 – верно Проверяем второе условие c^2 > a^2+b^2: 225 > 100+121 - верно. О т в е т. с=15; a=10; b=11 с/a=15/10=3/2 б) найдем такие с и a, что с/a=5/4 c-наибольшая, a – наименьшая сторона. Пусть с=10; b=8; a=9 Проверяем первое условие b+a > c: 8+9 > 10 – верно Проверяем второе условие 100 > 64 + 72 - неверно. Покажем, что нет таких натуральных чисел, которые могли быть сторонами данного треугольника. Обозначим с/a=5k/4k , k- натуральное c=5k a=4k 4k < b < 5k ⇒ b достаточно взять от 4k+1 до 5k-1. Пусть b - наименьшее из возможных b = 4k+1 Чтобы выполнялось второе условие c^2 > a^2+b^2: (5k)^2 > (4k)^2+(4k+1)^2 ⇒ 7k^2+8k+1 < 0 Неравенство имеет решение на множестве (1/7;1). Что не удовлетворяет условию к- натуральное О т в е т. Нет таких натуральных чисел. в) найдем наименьшее с/a, если b=18 c-наибольшая, a – наименьшая сторона. c > 18, a < 18. Для того чтобы отношение (дробь) было наименьшим, знаменатель должен быть наибольшим. Выберем a =17 > 18 – это наибольшее натуральное число из возможных. Из условия c^2 > a^2+b^2 ⇒ c^2 > 17^2+18^2=289+324=613, √613 ≈24,75 c=25 О т в е т. с/а= 25/17.
22.10.2016 лучшее решение
Перепишем уравнение в виде |2•5^x–a|–|5^x+2a|=(5^2)^x Сделаем замену переменной. 5^x=t > 0 Уравнение примет вид |2t–a|–|t+2a|=t^2 Применяем координатно–параметрический метод. Раскрываем модули. 1) Подмодульные выражения обращаются в 0 при 2t–a=0 ⇒ t=a/2 при t+2a=0 ⇒ t=–2a Прямые t=a/2 и t=–2a разбивают координатную плоскость аОt на 4 области. При этом 2t–a положительно в 1 и 2 t+2a положительно в 1 и 4. Раскрываем знаки модуля в каждой области 1 область 2t–a–t–2a=t^2 ⇒ a=(–t^2+t)/3 парабола зеленого цвета, оставлена только та ее часть, которая расположена в области 1. Вершина параболы в точке t=1/2 a=1/12 2 область 2t–a+t+2a=t^2 ⇒ a=t^2–3t парабола сиреневого цвета, оставлена только та её часть, которая принадлежит области 2. Вершина в точке t=3/2; a=–9/4 3 область –2t+a+t+2a=t^2 ⇒ a=(t^2+t)/3 4 область –2t+a–t–2a=t^2 ⇒ a=–t^2–3t Поскольку показательное уравнение 5^x=t имеет положительный корень, если t > 1, то при a∈(–9/4;–2] данное уравнение будет иметь ровно два неотрицательных корня. При этих значениях прямая параллельная оси Ot (красного цвета)будет иметь ровно две точки пересечения с соответствующей параболой. О т в е т. a∈(–9/4;–2]
22.10.2016 лучшее решение
Пусть АВ1:В1С = АС1:С1В=k.Обозначим АВ1=х; АС1=у. Тогда С1В=ky; B1C=kx. Cм. рисунок. S( ΔABB1)=S( ΔACC1)=((1+k)•x•y•sin∠A)/2. Так как S(ΔABB1)=S(AB1OC1)+S(ΔC1OB) и S(ΔAСС1)=S(AB1OC1)+S(ΔВ1OС), то S(ΔC1OB) = S(ΔВ1OС). Проведем высоты OD в ΔC1OB и ОF в ΔB1OC. S(ΔC1OB)=ky •OD/2= kx•OF/2=S(ΔВ1OС)⇒y •OD=x•OF⇒ S(ΔAC1O) = S(ΔAВ1O)=S1 Тогда S(ΔC1OB) = S(ΔВ1OС)=kS1. C другой стороны, S(ΔAC1O) =(y•AO•sin∠C1AO)/2= =(x•AO•sin∠B1AO)/2= S(ΔAВ1O)⇒ y•sin∠C1AO=x•sin∠B1AO S(ΔAA1B)=(AB•AA1•sin∠C1AO)/2=(k+1)y•AA1•sin∠C1AO; S(ΔAA1C)=AC•AA1•sin∠B1AO/2= =((k+1)x•AA1•sin∠B1AO)/2. В силу y•sin∠C1AO=x•sin∠B1AO получаем S(ΔAA1B)=S(ΔAA1C) Значит и S(ΔОA1B)=S(ΔОA1C) Так как у треугольников ОA1B и ОA1C площади равны, общая высота,то и основания A1С и A1B равны. б)AB1:B1C= АC1:C1В = 1:4 Обозначим АВ1=х; В1С=4х; АС=5х. АС1=у; С1В=4у; АВ=5у. S(ΔAC1O) = S(ΔAВ1O)=S1 Тогда S(ΔC1OB) = S(ΔВ1OС)=4S1. S(ΔABC)=(AB•AC•sin∠A)/2=(5x•5y•sin∠A)/2= =(25xy•sin∠A)/2 S(ΔABB1)=(AB•AB1•sin∠A)/2=(5y•x•sin∠A)/2= =(5xy•sin∠A)/2; S(ΔABB1)=S1+S1+4S1; 6S1=(5xy•sin∠A)/2 2S1=S(четырехугольника АВ1ОС1)=(5xy•sin∠A)/6 S(четырехугольника АВ1ОС1):S(ΔABC)= (5/6):(25/2)=1:15 О т в е т. 1:15.
20.10.2016 лучшее решение
Изображение
18.10.2016 лучшее решение
Целые числа x, у и z в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию. Это означает, что y^2=xz и потому xz > 0 (xz≠0), т.е x и z одного знака. А) Если числа x+3, у2 и z+5 образуют арифметическую прогрессию, то y^2-x-3=z+5-y^2 или 2y^2=x+z+8 Заменяя y^2 на xz получим 2xz=x+z+8 2xz-z=x+8 z=(x+8)/(2x-1) При х=1 получим z=9 y^2=xz=9 Числа 1;3;9 и 1;-3;9 образуют геометрическую прогрессию. Числа 1+3; 9; 14 - образуют арифметическую прогрессию. О т в е т .А) Да. Б)Если числа 5х, у и 3z образуют арифметическую прогрессию, то y-5x=3z-y или 2y=5x+3z у=(5х+3z)/2 Возводим в квадрат y^2=(25x^2+15xz+9z^2)/4 Заменяя y^2 на xz 4xz=25x^2+15xz+9z^2 -11xz=25x^2+9z^2 - равенство невозможно, так как слева отрицательное число, а справа положительное. О т в е т. Б) Нет. В) Если числа 5x+3, у^2 и 3z+5 образуют арифметическую прогрессию, то y^2-5x-3=3z+5-y^2; 2y^2=5x+3z+8. Заменяя y^2 на xz получим 2xz=5x+3z+8; 2xz-3z=5x+8; z(2x-3)=5x+8; z=(5x+8)/(2x-3); z=(5x-(15/2)+(15/2)+8)/(2x-3)=(5/2)+ 31/2(2x-3) Чтобы я было целым число необходимо, чтобы (2х-3) было кратно 31 Значит 2х-3=31 ⇒х=17 ⇒ z=3 ⇒y^2=51 нет целых у 2х-3=-31 ⇒х=-14 ⇒ z=2 ⇒y^2=-28 нет таких у 2х-3=1 ⇒х=2 ⇒ z=18 ⇒y^2=36 ⇒ у=-6 или у=6 2х-3=-1 ⇒х=1 ⇒ z=-13 ⇒y^2=-13 нет таких у. О т в е т. В) 2; 6; 18 или 2; -6; 18.
17.10.2016 лучшее решение
Ежемесячно нужно выплачивать одинаковую сумму долга 12млн/24=500 000 руб. Выплаты процентов составят: за первый месяц 0,03•12 млн =360 000( выплата процентов идет со всей взятой суммы) за второй месяц 0,03•(12млн–(12млн/15))=0,03•11500000=345 000 ( выплата процентов идет с суммы, которая уменьшилась на 500 000 руб. За третий месяц 0,03•(12 млн –2•500 000)=0,03•11 млн=330 000 руб. за четвертый 0,03•(12 000 000 - 1 500 000)=315 000 ... за 12-й месяц 0,03•(12 млн -5,5 млн)=195 000 за второй год: за 1-ый месяц второго года 0,03•(12 млн -6 млн)=180 000 ... за 12-й месяц второго года 0,03•(12 млн -11,5млн)=15 000 За первый год Галина вернет банку половину взятого кредита 6 млн=500 000•12 и проценты 360 000 + 345 000 + 330 000 + 315 000 + ... 195 000= находим сумму 12 слагаемых, которые представляют собой арифметическую прогрессию (360 000+ 195 000)•12/2=3 330 000 За второй год Галина вернет вторую половину кредита - еще 6 млн и проценты 180 000 + ... 15 000= (180 000+ 15 000)•12/2=1 170 000 3 330 000 + 6 000 000 - ( 1 170 000 + 6 000 000)= =2 160 000 О т в е т. На 2 млн 160 тыс больше в течение первого года кредитования по сравнению со вторым
17.10.2016 лучшее решение
Пусть кредит составляет А рублей, 3 % – процентная ставка, 15 месяцев–срок, на который взят кредит. Ежемесячно нужно выплачивать одинаковую сумму долга А/15, Выплаты процентов составят: за первый месяц 0,03•А (сумма выплаты идет со всей взятой суммы) за второй месяц 0,03•(А–(А/15))=0,03•(14A/15) (сумма выплат уже уменьшилась на (A/15).Проценты считают с суммы меньшей на эту величину. за третий месяц 0,03•(А–(2А/15))=0,03•(13A/15) … за 8–й месяц 0,03•(8A/15) (сумма выплат уменьшилась на (8A/15). Тогда сумма выплат за 8-й месяц (A/15) +0,03•(8A/15)=99 200 1,24•A=99200•15 А=1 200 000 - сумма кредита. За весь срок придется выплатить этот кредит частями (А/15)=80 000 руб в месяц и проценты 0,03•A•(1+(14/15)+(13/15)+... (1/15))= =0,03•A•(15+14+13+...+1)/15= В скобках приводим к общему знаменателю и в числителе находим сумму 15 слагаемых от 15 до 1 по формуле суммы арифметической прогрессии. 0,03•A•(15+14+13+...+1)/15=0,24 А При А=1 200 000 выплаты процентов составят 288 000 Общая сумма выплат 1 200 000 + 288 000 =1 488 000
16.10.2016 лучшее решение
1=log_(x+1)(x+1) 2=log_(x+1)(x+1)^2 Неравенство принимает вид: log_(x+1)(5-x) меньше или равно log_(x+1)(x+1)^2. Рассматриваем два случая. 1) х+1 > 1 при этом логарифмическая функция возрастает, большему значению функции соответcтвует большее значение аргумента.Данное неравенство заменим на неравенство между аргументами: (5-х) меньше или равно (х+1)^2 При этом выражение под знаком логарифма должно быть положительным. Система {x+1 > 0 ⇒ x > -1 {5-x меньше или равно (х+1)^2 ⇒x^2+3x-4≥0 {5-x > 0 ⇒ x < 5 Решением системы являются x∈[1;5) 2)0 < х+1 < 1 при этом логарифмическая функция убывает, данное неравенство заменим на неравенство между аргументами: (5-х) больше или равно (х+1)^2 При этом выражение под знаком логарифма автоматически становится положительным. Система {0 < x+1 < 1 ⇒ -1 < x < 0 {5-x больше или равно (х+1)^2 ⇒x^2+3x-4 меньше или равно 0 Решением системы являются x∈(-1;0). Объединяем оба ответа. Ответ. x∈(-1;0)U[1;5) Можно значительно упростить решение если применить метод рационализации логарифмических неравенств. Он позволяет переходить от неравенства log_(x+1)(5-x) меньше или равно log_(x+1)(x+1)^2 к неравенству (х+1-1)(5-х-(х+1)^2) меньше или равно 0 с учетом ОДЗ: 5-x > 0; х+1 > 0,x+1≠1 x(-x^2-3x+4)меньше или равно 0 x(x^2+3x-4) больше или равно 0 __-__[-4]__+___0__-__[1]__+__ x∈[-4;0)U[1;+∞) С учетом ОДЗ: (x∈-1;0)U(0;5), получаем ответ. О т в е т. (-1;0)U[1;5)
16.10.2016 лучшее решение
Изображение
14.10.2016 лучшее решение
220 1) 2^(-x+5) < 1/4; так как 1/4=(1/2)^2=2^(-1), то 2^(-x+5) < 2^(-1). Показательная функция с основанием 2 > 1 монотонно возрастает, меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. -х+5 < -1; -x < -1-5; -x < -6; x > 6. О т в е т. (6;+∞). 2) (1/3)^(|x-2|) > 1/27, так как 1/27=(1/3)^3. (1/3)^(|x-2|) > (1/3)^3. Показательная функция с основанием 0 < (1/3) < 1 монотонно убывает, меньшему значению функции соответствует большее значение аргумента. |x-2| < 3; -3 < x-2 < 3; -1 < x < 5. О т в е т. (-1;5). 221 1)5^(x^2+3x+1,5) < 5sqrt(5); 5^(x^2+3x+1,5) < 5^(1,5). Показательная функция с основанием 5 > 1 монотонно возрастает, меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. x^2+3x+1,5 < 1,5; х^2+3x < 0; x(x+3) < 0. ____+____(-3)___-___(0)___+___ О т в е т. x∈(-3;0). 2)(0,2)^(x^2-6x+7)больше или равно 1; (0,2)^(x^2-6x+7)больше или равно 0,2^0. Показательная функция с основанием 0 < 0,2 < 1 монотонно убывает, меньшему значению функции соответствует большее значение аргумента. x^2-6x+7 меньше или равно 0. D=(-6)^2-4•7=36-28=8 x=(6-2sqrt(2))/2=3-sqrt(2) или x=(6+2sqrt(2))/2=3+sqrt ___(3-sqrt(2))___-_____(3+sqrt(2))___ О т в е т. (3-sqrt(2);3+sqrt(2)).
14.10.2016 лучшее решение
Уравнение прямой проходящей через две точки с координатами (х₁;у₁) и (х₂;у₂) (x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁). 1)Уравнение прямой АС: (x-(-8))/(4-(-8))=(y-(-2))/(4-(-2)); (x+8)/12=(y+2))/6; 6(х+8)=12(y+2); 6x-12y+24=0. 2) (x+8)/12=(y+2)/6 - уравнение прямой АС с направляющим вектором (12;6). Прямая ВN параллельна АС, значит ее уравнение можно записать как уравнение прямой, проходящей через точку В с направляющим вектором (12;6). (x-2)/12=(y-10)/6; 6x-12=12y-120; 6x-12y+108=0 3)Координаты точки D - середины отрезка АB: х_(D)=(х_(А)+х_(В))/2=(-8+2)/2=-3, у_(D)=(y_(А)+y_(B))/2=(-2+10)/2=4. D(-3; 4) С(4;4) Уравнение прямой CD как уравнение прямой, проходящей через две точки, заданные своими координатами написать невозможно так как во второй дроби знаменатель равен 0. Это получается из-за того, что вторые координаты точек С и D одинаковые и равны 4. Это и есть характерное свойство прямой CD. Уравнение прямой CD: у=4. 3) Чтобы написать уравнение высоты АЕ, напишем уравнение прямой ВС, как прямой проходящей через две точки (x-2)/(4-2)=(y-10)/(4-10) или (x-2)/2=(y-10)/(-6) -6х+12=2у-20 6х+2у-32=0 Нормальный вектор (6;2) прямой ВС является направляющим вектором прямой АЕ, перпендикулярной ВС. Уравнение прямой АЕ (х+8)/6=(у+2)/2 2(х+8)=6(у+2) 2х-6у+4=0 4) Чтобы найти угол В найдем скалярное произведение векторов, выходящих из точки В. ВА и ВС. vector{BA}=(-8-2;-2-10)=(-10;-12), vector{BC}=(4-2;4-10)=(2;-6) cos ∠B=(2•(-10)+(-12)•(-6))/ =52/√((-10)^2+(-12)^2)•√((2)^2+(-6)^2)=13/√610. 5) М- точка пересечения медиан. Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Находим координаты вектора СМ, который равен 2/3 вектора СВ vector{CD}=(-7;0) vector{CM}=(-14/3;0) x_(М)-х_(С)=-14/3; у_(М)-у_(С)=0; М(-2/3;0).
13.10.2016 лучшее решение
Обозначим центр большой окружности О, её радиус R. Центр окружности, касающейся большой окружности внутренним образом Q, радиус r,центр третьей окружности, касающейся этих двух Р, радиус х. См. рисунок. а)Рассмотрим треугольник POQ. Прямая, соединяющая центры касающихся окружностей проходит через точку касания. АВ- линия центров окружностей, касающихся внутренним образом, проходит через точки О и Q. AB=2R; CD=2r ⇒ OQ=R-r. РО=R-x PQ=x+r. Р(Δ PQO)=PQ+QO+PO=R-x+R-r+x+r=2R б)Рассматриваем два прямоугольных треугольника. МРО и МРQ. М- точка касания третьей окружности с линией центров первых двух. Значит РМ⊥АВ. Находим МО по теореме Пифагора из Δ МРО: МО^2=PO^2-PM^2=(R-x)^2-x^2 ⇒ МО= sqrt((R-x)^2-x^2) Находим МО по теореме Пифагора из Δ МРО: МQ^2=PQ^2-PM^2=(r+x)^2-x^2 ⇒ МQ= sqrt((r+x)^2-x^2) Так как MQ=MO+OQ, приравнивая получаем иррациональное уравнение: sqrt((r+x)^2-x^2)=sqrt((R-x)^2-x^2)+ (R-r). При R=3; r=2 sqrt((2+x)^2-x^2)=sqrt((3-x)^2-x^2)+ 1. Возводим в квадрат. (2+x)^2-x^2=(3-x)^2-x^2+2sqrt((3-x)^2-x^2)+1; 2sqrt((3-x)^2-x^2)=10х-6; sqrt((3-x)^2-x^2)=5х-3. Возводим в квадрат. (3-х)^2-x^2=25x^2-30x+9; 25x^2-24x=0 x=0,96 или х=0- не удовл. условию задачи О т в е т. 0,96
12.10.2016 лучшее решение
Пусть 4х^2=t, возводим обе части в куб. 64х^6=t^3 ⇒ 8x^6=t^3/8. Пусть 6х+10а=u или 2(3х+5a)=u Возводим обе части в куб 8(3x+5a)^3=u^3 ⇒ (3x+5a)^3=u^3/8 Левая и правая части данного уравнения имеют одинаковую структуру. Рассмотрим функцию f(z)=(z^3/8)+z. Данное уравнение можно представить в виде: f(t)=f(u) Исследуем функцию f(z) на монотонность. f`(z)=(3z^2/8)+1. f`(z) > 0 при любом z, значит функция y=f(z) монотонно возрастает при любом z. Если значения функции в точках t и u равны, то равны и аргументы f(t)=f(u)⇒ t=u Отсюда следует, что данное уравнение имеет решение, если имеет решение уравнение t=u . И обратно, данное уравнение не имеет корней, если не имеет корней уравнение t=u . Рассмотрим уравнение t=u Запишем его с переменной х 4x^2=6x+10a 4x^2-6x-10a=0 Квадратное уравнение не имеет корней, если его дискриминант отрицательный. D=(-6)^2-4•4•(-10a)=36+160a D < 0 36+160a < 0 ⇒ 160a < -36 ⇒ a < -9/40. О т в е т. (- ∞; -9/40).
12.10.2016 лучшее решение
Пусть производительность первого станка х деталей в минуту, второго – у деталей в минуту, третьего – z деталей в минуту. Пусть первый станок проработал t минут и изготовил xt деталей. Второй станок проработал на 20 минут меньше и изготовил у(t–20) деталей. Третий станок проработал (t–55) минут и изготовил z(t–55) деталей. Так как по условию "в ходе работы был момент, когда каждый станок выполнил одну и ту же часть задания", то xt=y(t–20)=z(t–55). xt=y(t–20) ⇒ t=20y/(y–x) xt=z(t–55) ⇒ t=55z/(z–x) 20y/(y–x)=55z/(z–x) ⇒ 20y(z–x)=55z(y–x) ⇒ 4y(z–x)=11z(y–x); 4yz–4xy=11yz–11xz; 11xz=7yz+4xy; y=11xz/(7z+4x). 800/x минут – время работы первого; 800/у минут – время работы второго; 800/z минут – время работы третьего. По условию первый справился с заданием через 1 ч 28 мин после третьего. Уравнение: (800/х)–(800/z)=1 час 28 минут 800(z–x)/xz=88 ⇒ (z–x)/xz=88/800 Найти: (800/х)–(800/у)=? 800(y–x)/xy=? Подставим вместо y=11xz/(7z+4x) получим 800•4(z–x)/11xz=(3200/11)•(z–x)/xz= =(3200/11)•(88/800)=32 минут. О т в е т. Через 32 минуты после третьего закончил работу второй.
11.10.2016 лучшее решение
Изображение
10.10.2016 лучшее решение
f(6)=4; f(-5)=-3. 5f(6)-6f(-5)=5•4-6•(-3)=20+18=38
10.10.2016 лучшее решение
Изображение
09.10.2016 лучшее решение
Окружности касаются внутренним образом. Ни одна из хорд меньшей окружности не может быть касательной к большей окружности. Пусть хорда АВ окружности радиуса 13,25 касается окружности радиуса 9 в точке С. См. рисунок. ОС=ОМ=ОТ=9 - радиус меньшей окружности. РМ=PN=PB=13,25 - радиус большей окружности. РО=РМ-ОМ=13,25-9=4,25 Проведем РК⊥АВ. РК- часть диаметра окружности радиуса 13,25. Диаметр, перпендикулярный хорде делит эту хорду пополам. Пусть АС=х, ВС=2х. По условию АС:ВС=х:2х=1:2. АВ=АС+СВ=х+2х=3х. Значит АК=КВ=1,5х; СК=АК-АС=1,5х-х=0,5х. Из прямоугольного треугольника РКВ: РК^2=PB^2-KB^2 PK^2=(13,25)^2-(1,5x)^2 Рассмотрим прямоугольную трапецию ОСКР. Проведем высоту РЕ. Из прямоугольного треугольника ОЕР: ОЕ^2+PE^2=OP^2 РЕ=КС=0,5х EC=PK=√((13,25)^2-(1,5x)^2) ОЕ=9-√((13,25)^2-(1,5x)^2) (9-√((13,25)^2-(1,5x)^2))^2 +(0,5х)^2=(4,25)^2; 81-18√((13,25)^2-(1,5x)^2)+(13,25)^2-(1,5x)^2+0,25x^2=(4,25)^2. или 18√((13,25)^2-(1,5x)^2)=81+(13,25)^2-(4,25)^2-2x^2; 18√((13,25)^2-(1,5x)^2)=81+17,5•9-2x^2; 18√((13,25)^2-(1,5x)^2)=9•26,5-2x^2. Возводим в квадрат: 4х^4-225x^2=0 x^2(4x^2-225)=0 x^2=225/4; x=15/2=7,5. AB=3x=22,5. О т в е т. АВ=22,5.
07.10.2016 лучшее решение
5^(–10)·5^5/5^(–9)=5^(-10+5-(-9))=5^(4)=625
05.10.2016 лучшее решение
Пусть кредит составляет А рублей, 2 % – процентная ставка, 18 месяцев–срок, на который взят кредит. Ежемесячно нужно выплачивать одинаковую сумму долга А/n, Выплаты процентов составят: за первый месяц 0,02•А (сумма выплаты идет со всей взятой суммы) за второй месяц 0,02•(А–(А/18))=0,02•17A/18 (сумма выплат уже уменьшилась на (1/18)A. за третий месяц 0,02•(А–(2А/18))=0,02•16A/18 (сумма выплат уже уменьшилась на (2/18)A. … за 18–й месяц 0,02•A/18 (сумма выплат уменьшилась на (17A/18). Тогда за 18 месяцев придется вернуть всю взятую сумму 18 •(А/18)=A и проценты, т.е. 0,02•А+0,02•(17A/18)+…+0,02•(A/18)=0,02•А(1+(17А/18)+(16А/18)+… (А/18)) В скобках приводим к общему знаменателю и в числителе находим сумму 18 слагаемых от 18 до 1 по формуле суммы арифметической прогрессии. А +0,2•А(18+17+…+1)/18=А+1,9А=2,9А руб.- общая сумма выплат А руб составляют 100% 2,9А руб. составляют х% х= 2,9А•100:А=290%. Ответ. общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования 290 % от суммы кредита.
05.10.2016 лучшее решение
Изображение
03.10.2016 лучшее решение
5)
03.10.2016 лучшее решение
Cм. рисунок. Пусть точки А(х_(А);у_(А)) и В(х_(В);у_(В)) лежат на параболе, а точки С и D на прямой у=х-0,2. Противоположные стороны квадрата параллельны.Значит, точки А и В лежат на прямой АВ, параллельной прямой у=х-0,2. Пусть это прямая у=х+m. Значит, у_(А)=х_(А)+m; y_(B)=x_(B)+m Расстояние между точками А и В d^2=(x_(B)-x_(A))^2+(y_(B)-y_(A))^2= = (x_(B)-x_(A))^2+(x_(B)-m-y_(A)+m)^2= =2• (x_(B)-x_(A))^2. Рассмотрим прямоугольный треугольник РКЕ, PK⊥CD. Р-точка пересечения прямой у=х+m c осью ОУ. Р(0;m) Е- точка пересечения прямой у=х-0,2 с осью ОУ. Е(0;-0,2) РЕ=m+0,2 Прямые у=х+m и у=х-0,2 образуют с осью Ох угол 45°, а значит и с осью Оу - 45°. РК=ВС=d=(m+0,2)•sin45°=(m+0,2)/√2. d^2=(m+0,2)^2/2. Все стороны квадрата равны. АВ=ВС, но ВС=РК, значит AB=PK. Получаем уравнение (m+0,2)^2/2=2•(x_(B)-x_(A))^2. ----------------------------- Так как точки А и В лежат на параболе, то у_(А)=10х^2_(А); у_(В)=10х^2_(В) и на прямой, то m=10х^2_(B)-x_(B)=10х^2_(А)-х_(А) или 10х^2_(А)-х_(А)=10х^2_(B)-x_(B). Откуда х_(А)+х_(В)=0,1. ------------- 4•(2х_(В)-0,1)^2=(10x^2_(B)-x_(B)+0,2)^2 Упрощаем 100х^4_(B)-20x^3_(B)-11x^2_(B)+1,2x_(B)=0 (x_(B)-0,1)(10x_(B)-4)(10x_(B)+3)=0 при x_(B)=0,4 и х=-0,3 получим наибольшее значение d^2=2•(2х_(В)-0,1)^2=2•(2•0,4-0,1)^2=2•0,7^2=0,98 d^2=2•(2х_(В)-0,1)^2= =2•(2•(-0,3)-0,1)^2=2•(-0,7)^2=0,98 S=d^2=0,98.
03.10.2016 лучшее решение
Пусть МА=9х, МР=16х, тогда АР=7х 7х=5 ⇒ х=5/7 Тогда MP=16 • (5/7)=80/7. Так как пирамида правильная и в основании равносторонний треугольник со стороной 6, то высота пирамиды проектируется в центр описанной окружности. АО=R=6√3/3=2√3. АК=h(треугольника АВС)=6√3/2=3√3. Из равнобедренного треугольника РВС: апофема РК=4 ( египетский треугольник РКС с гипотенузой 5 и катетом КС=3) По теореме косинусов из треугольника АРК: АР=5;РК=4 АК=3√3 сos∠АРК=(АР^2+РK^2-AK^2)/2•AP•PK= =(25+16-27)/2•5•4=7/20; Из треугольника МРК по теореме косинусов: МК^2=МР^2+PK^2-2•МР•РК•сos∠АРК=(80/7)^2+4^2-2•(80/7)•4•(7/20)=5616/49 По теореме косинусов из треугольника МРК: сos∠BKP =(МK^2+PK^2-MP^2)2•МK•РК; сos∠BKP=(5616/49)+4^2-(80/7)^2=0 ∠BKP=90° Линейный угол двугранного угла равен 90°. Плоскости РВС и МВС перпендикулярны. б) По теореме Пифагора из треугольника АРО: H(пирамиды РАВС)=РО= √ (5^2-(2√3)^2)=√13. Из подобия h(пирамиды МАВС):H(пирамиды РАВС)=АР:МА=7х:9х h= 9•√13/7 V (пирамиды МАВС)=(1/3)•S( треугольника АВС)•h= =(1/3)•(6√3/4)•(9√13/7)=27√39/7 кв. ед.
02.10.2016 лучшее решение
Процентная ставка n% от 500 000 рублей это 0,01n•500 000 = 5000n руб. На 5 ЯНВАРЯ следующего года долг составит (500 000 + 5000n) руб. До 19 ЯНВАРЯ происходит выплата так, чтобы долг уменьшился на 100 000 руб. Выплачиваем сумму кредита, разделенную на 5 месяцев и проценты за 1-ый месяц со всей суммы кредита ((500 000/5 )+5000n)=(100 000 +5000n) руб. После чего сумма долга на 20.01 составит 400 000 руб. На 5 ФЕВРАЛЯ долг составит 400 000 и проценты на эту сумму долга, т.е. 4000n руб. До 19 ФЕВРАЛЯ происходит выплат так, чтобы долг уменьшился на 100 000 руб. Выплачиваем ((500 000/5 )+4000n) руб. После чего сумма долга на 20.02 составит 300 000 руб ... На 5 МАЯ года долг составит 100 000 и проценты на эту сумму 1000n =(100 000 +1000n)руб. До 19 мая происходит выплата так, чтобы долг был выплачен полностью. Сумма выплат за 5 месяцев 5•(500 000/5 )=500 000 руб. - взятый кредит и проценты по кредиту: 5000n+4000n+3000n+2000n+1000n=15000n По условию задачи 15000n должно быть более 200 000 руб. Решаем неравенство: 15 000n больше или равно 200 000; n больше или равно 13,333 Наименьшее n равно 14%. О т в е т. 14%.
02.10.2016 лучшее решение
26 < 27 < 28 - верно. О т в е т. г)
29.09.2016 лучшее решение
sin ∠А= cos ∠B=a/с=3/9
28.09.2016 лучшее решение
Пусть производительность первого станка х деталей в минуту, второго - у деталей в минуту, третьего - z деталей в минуту. Пусть первый станок проработал t минут и изготовил xt деталей. Второй станок проработал на 20 минут меньше и изготовил у(t-20) деталей. Третий станок проработал (t-55) минут и изготовил z(t-55) деталей. Так как по условию "в ходе работы был момент, когда каждый станок выполнил одну и ту же часть задания", то xt=y(t-20)=z(t-55). xt=y(t-20) ⇒ t=20y/(y-x) xt=z(t-55) ⇒ t=55z/(z-x) 20y/(y-x)=55z/(z-x) ⇒ 20y(z-x)=55z(y-x) ⇒ 4y(z-x)=11z(y-x); 4yz-4xy=11yz-11xz; 11xz=7yz+4xy; y=11xz/(7z+4x). 800/x минут - время работы первого; 800/у минут - время работы второго; 800/z минут - время работы третьего. По условию первый справился с заданием через 1 ч 28 мин после третьего. Уравнение: (800/х)-(800/z)=1 час 28 минут 800(z-x)/xz=88 ⇒ (z-x)/xz=88/800 Найти: (800/х)-(800/у)=? 800(y-x)/xy=? Подставим вместо y=11xz/(7z+4x) получим 800•7(z-x)/11xz=(5600/11)•(z-x)/xz= =(5600/11)•(88/800)=56 минут. О т в е т. Через 56 минут после третьего закончил работу второй.
27.09.2016 лучшее решение
А) Решаем методом интервалов. Находим нули числителя: (х-2)^2=0; x=2 Находим нули знаменателя: х-5=0 Отмечаем точки х=2 и х=5 пустыми кружками и расставляем знаки. При х=10 получаем (10-2)^2/(10-5) > 0, ставим + справа от точки 5 При х=4 получаем (4-2)^2/(4-5)=-4 < 0 При х=0 получаем (0-2)^2/(0-5)=-4/5 < 0 О т в е т. На рисунке 3) Б) 1/4=2^(-2). Неравенство принимает вид: 2^(-x) < 2^(-2). Показательная функция с основанием 2 > 1 монотонно возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента ⇒ -x < -2 ⇒ x > 2 О т в е т. На рисунке 4) В)ОДЗ: х > 5. 1= log_(5)5. Неравенство принимает вид: log_(5)x > log_(5)5. Логарифмическая функция с основанием 5 > 1 монотонно возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента ⇒ x > 5 C учетом ОДЗ получаем ответ х > 5. О т в е т. На рисунке 1) Г) Решаем методом интервалов. (х-2)(х-5)=0 х-2=0 или х-5=0 х=2 или х=5 Отмечаем х=2 и х=5 пустыми кружками на числовой прямой и ставим знаки: ____+__(2)___-___(5)___+___ О т в е т. На рисунке 2)
26.09.2016 лучшее решение
Изображение
26.09.2016 лучшее решение
x=(π/4) + 2πk, k∈Z или x=(3π/4) + 2πn, n∈Z
26.09.2016 лучшее решение
|((x^2+x–2a)/(x+a))–1| ≤ 2; |(x^2+x-2a-x-a)/(x+a)|меньше или равно 2; |(x^2-3a)/(x+a)|меньше или равно 2; -2 меньше или равно (x^2-3а)/(x+a) меньше или равно 2; Двойное неравенство равносильно системе двух неравенств {(x^2-3а)/(x+a) меньше или равно 2; {(x^2-3а)/(x+a) больше или равно -2. или {(x^2-3а-2х-2а)/(x+a) меньше или равно 0; {(x^2-3а+2х+2а)/(x+a) больше или равно 0. {(x^2-2х-5а)/(x+a) меньше или равно 0; {(x^2+2х-а)/(x+a) больше или равно 0. Рассматриваем два случая: 1) Если a+x > 0 (неравенство строгое, знаменатель отличен от 0), то (x^2+2х-а) больше или равно 0 (х:2-2х-5а) меньше или равно 0 Запишем в виде системы, относительно а {a > -x; {a меньше или равно х^2+2x; {a больше или равно (х^2-2x)/5}. Изобразим множество решений системы на плоскости хОа. Множество точек, удовлетворяющих неравенству а > - x, расположено выше прямой а = -х. Множество точек, удовлетворяющих неравенству a меньше или равно х^2+2x, расположено вне параболы а=х^2+2x; Множество точек, удовлетворяющих неравенству a больше или равно (х^2-2x)/5, расположено внутри параболы а=(х^2-2x)/5. Проводим прямые х=1 и х=2. Множество точек внутри полосы удовлетворяет неравенству 1 < x < 2 ( cм. рисунок 1). Этому множеству на оси Оа соответствует множество точек удовлетворяющих неравенству -1/5 < a < 8. При а=-1/5 получим х=1 - решение неравенства При а =8 получим х=2 - решение неравенства Если а∈(-∞;-1/5 )U(8;+ ∞) решения неравенства не принадлежат (1;2) 2) Если a+x < 0 (неравенство строгое, знаменатель отличен от 0), то (x^2+2х-а) меньше или равно 0 (х^2-2х-5а) больше или равно 0 Запишем в виде системы, относительно а {a < -x; {a больше или равно х^2+2x; {a меньше или равно (х^2-2x)/5}. Изобразим множество решений системы на плоскости хОа. Множество точек, удовлетворяющих неравенству а > - x, расположено ниже прямой а = -х. Множество точек, удовлетворяющих неравенству a меньше или равно х^2+2x, расположено внутри параболы а=х^2+2x; Множество точек, удовлетворяющих неравенству a больше или равно (х^2-2x)/5, расположено вне параболы а=(х^2-2x)/5. Пересечение указанных множеств не содержит интервала (1;2). См. рисунок 2. О т в е т. а∈(-∞;-1.5 )U(8;+ ∞)
24.09.2016 лучшее решение
Пусть весь путь равен 2х км. Первую половину, т.е х км автомобиль проехал со скорос