ЕГЭ по Математике

Задание 16 (профильный уровень)
Разбор задания 16 профильного ЕГЭ по Математике "Планиметрия"
Задачи
На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка М, отличная от вершин, что МС=АС. Точка Р симметрична точке А относительно прямой ВС.

А) Докажите, что около четырехугольника ВМСР можно описать окружность.
Б) Найдите длину отрезка МР, если известно, что АВ=6, ВС=5, СА=3
На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответсвенно точки K, L и M, причем AK:KB=2:3, BL:LC=1:2, CM:MA=3:1.

а) Докажите, что площади треугольников BKL и KLM равны.
б) В каком отношении отрезок KL делит отрезок BM?
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. Из точки D параллельно основанию проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке K.

a) Докажите, что треугольник AKD - равнобедренный
б) Найдите длину отрезка AD, если AC=5, AB=BC=20
Дана трапеция АВСD, основания которой ВС=44, AD=100, АВ=CD=35. Окружность, касающаяся прямых AD и АС, касается стороны CD в точке К.

а) Докажите, что АС=75.
б) Найдите длину отрезка СК.
Реклама
Медиана AM и биссектриса CD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом B  пересекается в точке O.

a) Докажите, что CO/OD = AB/AD
б) Найдите площадь треугольника ABC,  если CO=9, OD=5.
Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Этих окружностей и их общей внутренней касательной касается третья окружность.

а)Докажите, что её точка касания с прямой совпадает с точкой касания одной из первых двух окружностей.

б)Найдите радиус третьей окружности.
В треугольнике ABC со сторонами AB=16, AC=24, CB=18, параллельно стороне AC проведена средняя линия MN (точка M находится на стороне AB), на которой взята точка K, так, что КМ равно 5 целых 1/3.

1. Доказать, что треугольники KMB и ABC подобны
2. Найти расстояние от точки K до точки B
Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается основания АС в точке М. Вторая окружность касается основания АС и продолжений боковых сторон.

А) Докажите, что длина основания треугольника является средним геометрическим диаметров первой и второй окружностей.

Б) Найдите радиус второй окружности, если радиус первой равен 3, а ВМ=8.
К окружности, вписанной в квадрат АВСD, проведена касательная, пересекающая стороны АВ и АD в точках М и Р соответственно.

А) Докажите, что периметр треугольника АМР равен стороне квадрата.
Б) Прямая МР пересекает прямую СD в точке К. Прямая, проходящая через точку К и центр окружности, пресекает прямую АВ в точке Е. Найдите отношение ВЕ:ВМ, если АМ:МВ=1:3.
Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.

а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD.

б) Пусть N — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM:MC=1:3, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 18.
Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK=3 и MK=12.
Реклама
Хорда АВ окружности параллельна касательной, проходящей через точку С, лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку С и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке Р.

А) Докажите, что треугольник АВР равнобедренный.

Б) Найдите отношение, в котором хорда АВ делит диаметр СР, если известно, что угол APB = 150 градусов.
В прямоугольном треугольнике АВС известно, что ВС=2*АС. На гипотенузе АВ вне треугольника построен квадрат АВEF. Прямая СЕ пересекает АВ в точке О.

А) Докажите, что ОА:ОВ=3:4.
Б) Найдите отношение площадей треугольников АОС и ВОЕ.
На диагонали AC параллелограмма ABCD отмечены точки Е и Р, причем АЕ:ЕР:РС=1:2:1. Прямые DE и DP пересекают стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно.

А) Докажите, что КМ || АС.

Б) Найдите площадь параллелограмма АВСD, если известно, что площадь пятиугольника ВКЕРМ равна 30.
Дан квадрат АВCD. Точки К, L, M - середины сторон АВ, ВС и CD соответственно. АL пересекает DK в точке Р; DL пересекает АМ в точке Т; АМ пересекает DK в точке О.

А) Докажите, что точки Р, L, T, O лежат на одной окружности;
Б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник PLTO, если АВ=4.
К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:2?
Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.

а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.

б) Найдите AD, если ∠BAD=60° и BC=2.
В неравнобедренном треугольнике АВС угол BAC = 45°. Продолжение биссектрисы CD треугольника пересекает описанную около него окружность θ_(1) в точке Е. Окружность θ_(2), описанная около треугольника АDE, пересекает продолжение стороны АС в точке F.

А) Докажите, что центр окружности θ_(1) лежит на прямой FB.

Б) Найдите радиус окружности θ_(2), если известно, что АС=6, AF=2.
Две окружности касаются внешним образом в точке L. Прямая АВ касается первой окружности в точке А, а второй — в точке В. Прямая BL пересекает первую окружность в точке D, прямая AL пересекает вторую окружность в точке С.

а) Докажите, что прямые AD и ВС параллельны.
б) Найдите площадь треугольника ALB, если известно, что радиусы окружностей равны 8 и 2.
В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А и катетами АВ = 2; АС = 6 вписан квадрат ADEF.

а) Докажите, что треугольники BDE и EFC подобны.
б) Найдите отношение площади треугольника EFC к площади квадрата ADEF.
Ответ: проверить
В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А и катетами АВ = 3; АС = 5 вписан квадрат ADEF.

а) Докажите, что треугольники BDE и EFC подобны.
б) Найдите отношение площади треугольника EFC к площади квадрата ADEF.
Вневписанная в треугольник АВС окружность касается его боковой стороны и продолжения основания АС.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте ВН треугольника АВС.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если радиус окружности равен 4, а АС*АВ = 30.
Окружность ω с центром в точке О касается стороны BC треугольника ABC в точке M и продолжений сторон AB и AC. Вписанная в этот треугольник окружность с центром в точке Е касается стороны BC в точке K.

а) Докажите, что ВК=СМ.

б) Найдите площадь четырехугольника ОКЕМ, если известно, что АС=5, ВС=6, АВ=4.
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Из вершины А опущены перпендикуляры AF, АН, АР и AQ на прямые DE, BE, CD и ВС соответственно.

а) Докажите, что угол FAH = угол PAQ.
б) Найдите АН, если AF = а, АР = b и AQ = с.
Точки B1 и C1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника АВС, причём АВ1:В1С = АС1:С1В. Прямые BB1 и CCi
пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника АВС, если известно, что AB1:B1C= АC1:C1В = 1:4 .
В окружность с центром в точке О вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. На большем катете ВС взята точка D так, что AC=BD. Точка Е - середина дуги АСВ.

а) Докажите, что угол CED = 90° .

б) Найдите площадь пятиугольника АОDEC, если известно, что АВ=13, АС=5.
Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольник ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=3:4; радиус описанной окружности около треугольника PQW равен 10, PQ=16, QW=12.

а) Доказать, что треугольник PQW-прямоугольный.

б) Найти площадь ABCD.
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 3 и 2.
Точка К лежит на диаметре АВ окружности с центром О. С и D - точки окружности, расположенные по одну сторону от АВ, причем угол OCK = углу ODK.

а) Докажите, что угол CKB = углу DKA.

б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках А, В, С, D, если известно, что OK = 3,6, BK = 9,6, угол OCK = углу ODK = 30°.
В треугольнике АВС ВА=8, ВС=7, угол B=120°. Вписанная в треугольник окружность w касается стороны АС в точке М.

а) Докажите, что АМ=ВС.

б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах АВ и АС, перпендикулярного АВ и касающегося окружности w.
Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающийся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в нее окружности.
К двум окружностям, не имеющим общих точек, проведены три общие касательные: одна внешняя и две внутренние. Пусть А и В - точки пересечения общей внешней касательной с общими внутренними.

а) Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры окружностей, одинаково удалена от точек А и В.

б) Найдите расстояние между точками А и В, если известно, что радиусы окружностей равны 6 и 3 соответственно, а расстояние между центрами окружностей равно 15.
Окружность с центром О вписана в угол, равный 60°. Окружность большего радиуса с центром O1 также вписана в этот угол и проходит через точку О.

а) Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.

б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен 2sqrt(3).
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и ВР.

а) Докажите, что углы АКР и АВР равны.

б) Найдите длину отрезка РК, если известно, что АВ=5, ВС=6, СА=4.
В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опустили перпендикуляр АН. На стороне АВ отмечена точка Е так, что прямые CD и СЕ перпендикулярны.

а) Докажите, что прямые ВН и ЕD параллельны.

б) Найдите отношение ВН:ED, если угол BCD=135 градусов
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD.

а) Докажите, что AB:BC=AP:PD.

б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB=5, а BC=5√2
В выпуклом четырехугольнике АВСD точки К, М, Р, Е - середины сторон АВ, ВС, СD и DA соответственно.

а) Докажите, что площадь четырехугольника КМРЕ равна половине площади четырехугольника АВСD.

б) Найдите большую диагональ четырехугольника КМРЕ, если известно, что АС=6, ВD=8, а сумма площадей треугольников АКЕ и СМР равна 3sqrt(3).
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD.

а) Докажите, что AB:BC=AP:PD.

б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB=5, а BC=5sqrt(2)
Дан треугольник АВС со сторонами АВ=5, ВС=9 и АС=10.

А)Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне ВС.
Б)Найдите биссектрису треугольника АВС , проведенной из вершины А.
А) Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности суммы катетов и гипотенузы.

Б) Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники, на которые он делится высотой, проведённой к гипотенузе, равны 4 и 5.
Две окружности касаются внешним образом в точке К. Прямая касается первой окружности в точке А, а второй – в точке В. Прямая ВК пересекает первую окружность в точке D, прямая АК пересекает вторую окружность в точке С.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DКС, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 9.
В равнобокую трапецию вписана окружность.

А) Докажите, что диаметр окружности равен среднему геометрическому длин оснований трапеции.

(Средним геометрическим двух положительных чисел а и b называется значение выражения sqrt(ab))

Б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции, если известно, что длины оснований трапеции 8 и 18.
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD.

а) Докажите, что AB:BC=AP:PD.

б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB=5, а BC=5√2
Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.

А)Докажите, что ∠ВОС+∠AOD=180°
Б)Найдите отношение оснований трапеции, если известно, что АВ=CD, а площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 8/25 площади трапеции ABCD.
Биссектриса угла С трапеции ABCD пересекает основание AD в точке М.

а) Докажите, что биссектриса угла D проходит через середину отрезка СМ.

б) Найдите отношение оснований трапеции, если сторона AD
перпендикулярна стороне АВ и известно, что AM:MD = 1:2 и АВ:CD = 4:5.
На сторонах AD и BC параллелограмма AВCD взяты соответственно точки M и N, причем ВN:NC = 1:3. Оказалось, что прямые AN и АС разделили отрезок BM на три равные части.

а) Докажите, что точка M - середина стороны АD параллелограмма.

б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь четырехугольника, ограниченного прямыми АN, АС, BM и BD равна 16.
Дан выпуклый четырехугольник ABCD со сторонами AB=3, BC=CD=5, AD=8 и диагональю АС=7.

а)Докажите, что около него можно описать окружность.
б)Найдите диагональ BD.
Окружности ω1 и ω2 касаются внешним образом. A1A2 и B1B2 - их общие внешние касательные (A1 и B1 - точки касания ω1, A2 и B2 - точки касания с ω2).

А) Докажите, что расстояние между хордами A1B1 и A2B2 равно среднему гармоническому диаметров окружностей. (средним гармоническим двух положительных чисел а и b называется значение выражения 2/(1/a + 1/b))

Б) Найдите площадь четырехугольника A1A2B2B1, если радиусы окружностей равны соответственно 9 и 4.
Точка О - центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I - центр вписанной в него окружности, H - точка пересечения высот. Известно, что

угол BAC = угол OBC + угол OCB

а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.

б) Найдите угол OIH, если угол ABC = 55 градусов
В треугольнике ABC‍ проведены биссектрисы AA‍1‍ и CC‍1,‍ K и М —‍ основания перпендикуляров, опущенных из точки B‍ на прямые AA‍1‍ и CC‍1.‍

а) Докажите, что MK||AC.‍

б) Найдите площадь треугольника KBM, если известно, что AC=10, BC=6, AB=8.
Ответ: проверить
Окружность с центром O‍ касается боковой стороны AB‍ равнобедренного треугольника ABC,‍ продолжения боковой стороны AC‍ и продолжения основания BC‍ в точке N.‍ Точка M —‍ середина основания BC.‍

а) Докажите, что AN = OM.‍

б) Найдите OM,‍ если стороны треугольника ABC‍ равны 10, 10 и 12.
На сторонах AB,‍ BC,‍ CD‍ и AD‍ параллелограмма ABCD‍ отмечены точки K,‍ L,‍ M‍ и N‍ соответственно, причём ‍AK/KB=‍BL‍/LC=‍CM‍/MD=‍DN‍/NA.‍

а) Докажите, что четырёхугольник KLMN —‍ параллелограмм, а его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.‍

б) Найдите отношение площадей параллелограммов KLMN‍ и ABCD,‍ если известно, что ‍AK/KB=2.‍
Дан треугольник ABC со сторонами AB=4, BC=6 и АС=8.

а) Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне ВС.

б) Найдите длину биссектрисы треугольника АВС, проведенной из вершины А.
Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружности, построенные на боковых сторонах KL и MN как на диаметрах, пересекаются в точках A и B.

а) Докажите, что средняя линия трапеции лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

б) Найдите AB, если известно, что боковые стороны трапеции равны 26 и 28, а средняя линия трапеции равна 15.
В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность, CH - высота трапеции.

а) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке BH.

б) Найдите диагональ AC, если известно, что средняя линия трапеции равна 2sqrt(7), а угол AOD=120 градусов, где O - центр окружности, вписанной в трапецию, а AD - большее основание.
Ответ: проверить
Две окружности имеют общий центр О. На окружности большего радиуса выбрана точка F.

А) Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки F до концов диаметра меньшей окружности не зависит ни от выбора точки F, ни от выбора диаметра.

Б) Известно, что радиусы окружностей равны 10 и 24. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются концы диаметра меньшей окружности и точка F, тангенс угла F этого треугольника равен 1/4.
В окружность радиуса R вписан четырехугольник ABCD, Р – точка пересечения его диагоналей, АВ=CD=5, AD>BC. Высота , опущенная из точки В на сторону AD, равна 3, а площадь треугольника ADP равна 25/2.

А) Докажите, что ABCD – равнобедренная трапеция
Б) Найдите стороны AD, BC и радиус окружности R.
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М–середина АB.

а) Докажите, что CM=(1/2)DK
б) Найдите расстояние от точки М до центра квадратов, если АС=6, ВС=10, угол АСВ=30 градусов
Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружности, построенные на боковых сторонах KL и MN как на диаметрах, пересекаются в точках A и B.

а) Докажите, что средняя линия трапеции лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

б) Найдите AB, если известно, что боковые стороны трапеции равны 26 и 28, а средняя линия трапеции равна 15.
Ответ: проверить
В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине А расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания ВС и первой окружности.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке Р. Докажите, что AP/PD = sinD.

б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 5/2 и 1/2
Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM, касается боковой стороны KL в точке B, а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром O1 касается основания ML и продолжений боковых сторон.

а) Докажите, что треугольник OLO1 прямоугольный.
б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK=16.
На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены точки P и Q, причем BP=PQ=QD.
а) Докажите, что прямые AP и AQ проходят через середины M и N сторон BC и CD соответственно.
б) Найдите отношение площади пятиугольника CMPQN к площади параллелограмма ABCD.
Дан тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AB = 24, AC = 15 и BC = 18. На сто­ро­не BC взята точка D, а на от­рез­ке AD — точка O, при­чем CD = 6 и AO = 3OD. Окруж­ность с цен­тром O про­хо­дит через точку C. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до точки пе­ре­се­че­ния этой окруж­но­сти с пря­мой AB.
Окружности с центрами O1 и O2 разных радиусов пересекаются в точках A и B. Хорда AC большей окружности пересекает меньшую окружность в точке M и делится этой точкой пополам.
a) Докажите, что проекция отрезка O1O2 на прямую AC
в четыре раза меньше AC.
b) Найдите O1O2, если известно, что радиус окружностей равны 10 и 15, а AC = 24.
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M, причём AM=2R и СМ=3R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R=2.
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC (с основанием AC), касается его боковых сторон в точках M и N. Точка M делит боковую сторону на отрезки 10 и 7, считая от основания треугольника ABC.

а) Докажите, что треугольники MBN и ABC подобны.

б) Найдите отношение площадей треугольника MBN и трапеции AMNC.
Две окружности касаются внутренним образом в точке А, при этом меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда ВС большей окружности касается меньшей окружности в точке R. Хорды АВ и АС пересекают меньшую окружность в точках D и Е соответственно.

а) Докажите, что DE параллельно ВС.

б) L — точка пересечения RA и DE. Найдите AL, если радиус большей окружности 17, а ВС = 30.
Окружность, построенная на стороне AD‍ параллелограмма ABCD‍ как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.
а) Докажите, что ABCD —‍ ромб.
б) Эта окружность пересекает сторону AB‍ в точке M,‍ причём AM : MB = 2 : 1.‍ Найдите диагональ AC,‍ если известно AD = sqrt(6)
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что АС = ЗMB.

а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан АА1 и СС1, если известно, что АС = 30.
Ответ: проверить
Медианы AM и BN треугольника ABC перпендикулярны и пересекаются в точке Р.

а) Докажите, что CP = АВ.
б) Найдите площадь треугольника AВС, если известно, что АС = 3 и ВС = 4.
Сторона CD‍ прямоугольника ABCD‍ касается некоторой окружности в точке M.‍ Продолжение стороны AD‍ последовательно пересекает окружность в точках P‍ и Q,‍ прямая BC‍ касается окружности, а точка Q‍ лежит на прямой BM.‍
а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.‍
б) Известно, что CM = 5‍ и CD = 8.‍ Найдите сторону AD.‍
На отрезке BD‍ взята точка C.‍ Биссектриса BL‍ равнобедренного треугольника ABC‍ с основанием BC‍ является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD‍ с основанием BD.‍
а) Докажите, что треугольник DCL‍ равнобедренный.
б) Известно, что cos ∠ABC = ‍1/3.‍ В каком отношении прямая DL‍ делит сторону AB?‍
Отрезок, соединяющий середины M‍ и N‍ оснований соответственно BC‍ и AD‍ трапеции ABCD,‍ разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD‍ равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 2, а меньшее основание BC‍ исходной трапеции равно 6. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB,‍ основания AN‍ трапеции ABMN‍ и вписанной в неё окружности.
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD.

а) Докажите, что AB:BC=AP:PD.

б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB=5,
а BC=5√2
Точка M — середина стороны AD параллелограмма ABCD. Из вершины A проведены два луча, которые разбивают отрезок BM на три равные части.
а) Докажите, что один из лучей содержит диагональ параллелограмма.
б) Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного двумя проведёнными лучами и прямыми BD и BC , если площадь параллелограмма ABCD равна 40.
Ответ: проверить
В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм - ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 5 и 3. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
На сторонах KN и LM параллелограмма KLMN взяты соответственно точки P и Q, причем, P - середина KN, a LK : KQ = 1 : 3.
а. Докажите, что прямые KQ и KM делят отрезок LP на три равные части (эту часть Дима уже решил).
б. Найдите площадь четырехугольника, образованного пересечениями прямых KQ, KM, LN и LM, если площадь параллелограмма KLMN равна 40.
Дан угол ABC, равный 30о. На его стороне BA взята точка D такая, что AD=2 и BD=1. Найти радиус окружности, касающейся прямой BC и проходящей через точки A, D
Медианы AA1, ВВ1 и СС1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 являются соответственно серединами отрезков MA, MB и MC.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB=5, BC=8 и AC=10
Хорда AB стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде AB. При этом AD = 2, BD = 1, DC = sqrt(2).
а) Докажите, что угол ADC равен Pi/6.
б) Найдите площадь треугольника ABC.
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ=6; ВС=5; АС=9.
а) Докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам
б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР:РN.
Ответ: проверить
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.
Около равнобедренного треугольника ABC c основанием BC описана окружность. Через точку С провели прямую, параллельную стороне AB. Касательная к окружности, проведенная в точке B, пересекает прямую в точке K.
а) Докажите, что треугольник BCK - равнобедренный.
б) Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника BCK, если cos BAC=3/4
Ответ: проверить
Высоты BB1 и СС1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что угол AHB1 = углу ACB.
б) Найдите BC, если AH=8sqrt(3) и угол BAC=60 градусов.
Ответ: проверить
Дан четырехугольник ABCD.
а) Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если LM=3sqrt(3), KM=6sqrt(3), угол KML=60 градусов.
Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.
а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 6 и KT = 3.
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причем AD=R.
a) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R=5 и CD=15.
Ответ: проверить
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120 градусов при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E - на отрезке AB.
a) Доказать, что FH=2DH
б) Найдите площадь треугольника DEFH, если AB=4.
Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром О. На продолжении отрезка АО за точку О отмечена точка К так, что угол ВАС+угол АКС=90 градусов.
а) Докажите, что четырехугольник ОВКС вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника ОВКС, если cos угла ВАС=3/5, а ВС=48
Ответ: проверить
На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N, причём M – середина AD, а BN : NC = 1 : 3.
а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.
б) Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N
и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC, если площадь
параллелограмма ABCD равна 48.
Ответ: проверить
В треугольнике АВС на сторонах АВ, ВС и СА отложены соответственно отрезки AD = (1/3)AB, BE = (1/3)BC, CF = (1/3)CA.
а) Докажите, что SAMC = SANB = SBKC , где М - точка пересечения АЕ и СD, K - точка пересечения СD и ВF, N - точка пересечения АЕ и ВF.
б) Найти, какую часть от площади треугольника АВС составляет площадь треугольника МNК.
Продолжение медианы АЕ треугольника АВС пересекает описанную около треугольника
окружность в точке D. Длина каждой из хорд АС и DC равна 1.
а) Докажите подобие треугольников АВС и АЕС.
б) Найдите длину отрезка ВС.
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.
а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если AB=12, CH=5.
Радиусы окружностей с центрами О1 и О2 равны соответственно 2 и 9. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой О1О2, если О1О2 =21.
Угол С треугольника АВС равен 30 градусов, D - отличная от А точка пересечения окружностей, построенных на сторонах АВ и АС как на диаметрах. Известно, что BD:DC = 1:6. Найдите синус угла А.
В окружности проведены хорды PQ и CD, причем PQ=PD=CD=12, CQ=4. Найдите СР.
Окружности радиусов 1 и 4 с центрами О1 и О2 соответственно касаются внешним образом в точке С, АО1 и ВО2 - параллельные радиусы этих окружностей, причем угол АО1О2 равен 60 градусов. Найдите АВ.
Окружности радиусов 3 и 5 с центрами О1 и О2 соответственно касаются в точке А. Прямая, проходящая через точку А, вторично пересекает меньшую окружность в точке В, а большую - в точке С. Найдите площадь треугольника ВСО2, если угол АВО1=15 грдусов
Окружность радиуса 6 вписана в угол, равный 60 градусов. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 4. Найдите MN.
Окружность радиуса 6sqrt(2) вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках М и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 8. Найти MN.
Точка О - центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 14sqrt(3). Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников АОВ, COD и EOF.
Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 8 и 17 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.

Основания трапеции равны a и b. Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2:3. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции.
В угол вписаны касающиеся внешним образом окружности радиусов r и R (r<R). Первая из них касается сторон угла A и B. Найдите AB.
Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 8 и 17 соответственно. Отре-зок, соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5. Прямые KL и MNпересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Ответ: проверить
Найдите площадь треугольника, если две стороны его равны 27 и 29, а медиана, проведённая к третьей, равна 26.
Медиана AM треугольника ABC равна m и образуют со сторонами АВ и АС углы Альфа и Бета соответственно. Найдите эти стороны.
В прямоугольнике ABCD известны стороны AB=12 и BC=21. Через вершину C проведена прямая, касающаяся окружности радиуса 3 с центром в точке A и пересекающая прямую AD в точке M. Найдите AM.
Окружности радиусов 2 и 3 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если угол ABO1 равен 30°.
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М-середина АB.
1) Докажите, что CM=1/2DK
2) Найдите расстояние от точки М до центра квадратов, если АС=6, ВС=10, угол АСВ=30
Ответ: проверить
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB , если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Ответ: проверить
Дан треугольник ABC со сторонами AB=15, AC=9 и BC=12. На стороне BC взята точка D, а на отрезке AD — точка O причем CD=4 и AO=3OD. Окружность с центром O проходит через точку C. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения этой окружности с прямой AB.
В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.
Ответ: проверить
Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что AB=6 и BC=4. Найдите AC.
Точки A1, B1 и C1 основания высот треугольника ABC. Углы треугольника A1B1C1 равны 90, 60 и 30. Найдите углы треугольника ABC.
Диагонали трапеции перпендикулярны. Одна из них равна 6. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен 4,5. Найдите площадь трапеции.
Средняя линия трапеции равна 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 3. Углы при большем основании трапеции равны 30° и 60°. Найдите основания и меньшую боковую сторону трапеции.
В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведены биссектриса CL и медиана СМ. Найдите площадь треугольника ЛВС, если LM = а, СМ = b.
Online подготовка к ЕГЭ
Мы ВКонтакте
Немного рекламы