ЕГЭ по Математике

Задание 14 (профильный уровень)
Разбор задания 14 профильного ЕГЭ по Математике "Стереометрия"
Задачи
В основании пирамиды PABC лежит прямоугольный треугольник с катетами АС=6 и ВС=8. Прямая РС перпендикулярна плоскости АВС. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК:ВК=9:16.

А) Докажите, что прямые РК и АВ перпендикулярны.
Б) Найдите отношение радиусов сфер, вписанных в пирамиды РАСК и РВСК, если известно, что РС=2.
В правильной треугольной пирамиде DABC с основанием ABC сторона основания равна 63, а высота пирамиды равна 8. На рёбрах AB, AC и AD соответственно отмечены точки M, N и K, такие, что AM=AN=(3sqrt(3))/2 и AK=5sqrt(2).

а) Докажите, что плоскости MNK и DBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости DBC.
Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно 7sqrt(10).

а) Постройте прямую пересечения этой плоскости с плоскостью, проходящей через диаметры оснований, перпендикулярные этим хордам.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD сторона основания равна 20, а высота пирамиды равна 11,25. Через ребро АВ под углом бета к плоскости АВС проведена плоскость α. Известно, что tg бета = 3/4.

А) Докажите, что плоскость α делит ребро РС в отношении 1:4, считая от точки Р.

Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.
Реклама
В правильной треугольной призме АВСA1B1C1 все ребра равны между собой.

Точка К – середина ребра СС1. Докажите, что прямые АВ1 и ВК перпендикулярны.
Дана правильная четырёхугольная пирамида МABCD, все рёбра которой равны 6. Точка N-середина ребра МА, точка К делит боковое ребро МВ в отношении 5:1, считая от вершины М.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и К параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь этого сечения.
В правильной треугольной призме АВСA1B1C1 все ребра равны между собой.

Точка К – середина ребра СС1.

А) Докажите, что прямые АВ1 и ВК перпендикулярны.
Б) Найдите расстояние между прямыми АВ1 и ВК, если ребро призмы равно 6
PH - высота правильной четырехугольной пирамиды РАВСD, О - точка пересечения медиан треугольника ВСР.

А) Докажите, что прямые РН и АО не имеют общих точек.

Б) Найдите угол между прямыми РН и АО, если известно, что АВ=РН.
В основании прямой призмы АВСDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция АВСD с основаниями ВС и АD. Точка К – середина ребра ВВ1. Плоскость α проходит через середины ребер АВ и ВВ1 параллельно прямой В1D.

А) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренная трапеция.

Б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее разбивает плоскость α, если известно, что ВС=7, АD=25, АВ=15, ВВ1=8.
В основании прямой призмы АВСDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция АВСD с основаниями ВС и АD. Точка К – середина ребра ВВ1. Плоскость α проходит через середины ребер АВ и ВВ1 параллельно прямой В1D.

А) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренная трапеция.

Б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее разбивает плоскость α, если известно, что ВС=7, АD=25, АВ=15, ВВ1=8.
Цилиндр и конус имеют общее основание, вершина конуса является центром другого основания цилиндра. Каждая образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30° .

А) Докажите, что площади боковых поверхностей цилиндра и конуса равны.

Б) Найдите радиус сферы, касающейся боковых поверхностей цилиндра и конуса, а так же одного из оснований цилиндра, если известно, что объем конуса равен (6sqrt(3)+10)*Pi.
Реклама
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды 18, боковое ребро 41. Найти площадь боковой поверхности пирамиды
Ответ: проверить
В правильной треугольной пирамиде SABC высота равна 12, а апофема равна 20. Точки Р и Т - середины рёбер SB и SC соответственно. Плоскость α содержит прямую РТ и параллельна высоте пирамиды SH.

а) Докажите, что плоскость α делит высоту основания ВВ1 в отношении 1:2, считая от вершины В
б) Найдите расстояние от точки В до плоскости α

Ответ: проверить
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 на ребре СС1 отмечена точка М так, что СМ:С1М=1:3. Плоскость АЕМ пересекает ребро ВВ1 в точке К.

А) Докажите, что ВК:В1К=1:5.
Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью АЕМ, если АВ=3, СС1=8.
В правильной пирамиде PABC точки Е, F, K, M, N - середины ребер АС, ВС, РА, РВ и РС соответственно.

А) Докажите, что объем пирамиды NEFMK составляет четверть объема пирамиды PABC.

Б) Найдите радиус сферы, проходящей через точки N, Е, F, M, K, если известно, что АВ=8, АР=6.
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 5. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=4. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.

а) Докажите, что A1P:PB1=3:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно sqrt(730).

а) Докажите, что эта плоскость пересекает ось цилиндра.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 все рёбра равны 1.

а) Докажите, что прямая АВ1 параллельна прямой, проходящей через середины отрезков АС и ВС1.
б)Найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1.
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка М – середина ребра АВ, точка О – центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что прямая MF перпендикулярна прямой SC.
б) Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью АВС.
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1.

А) Докажите, что прямая В1С1 перпендикулярна линии пересечения плоскостей АВС1 и АСВ1.

Б) Найдите угол между плоскостями АВС1 и АСВ1, если известно, что АВ=2, АА1=2.
В правильной шестиугольной призме AB...E1F1 со стороной основания 4 и боковым ребром 2

а) Опустите перпендикуляр из точки С на прямую E1F1.
б) Найдите его длину.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF со стороной основания 2 и боковым ребром 3 точка М делит ребро SD в отношении 1 : 2 (считая от вершины S).

а) Постройте угол между прямой ВМ и плоскостью АЕС.
б) Найдите величину этого угла.
В шаре проведено два сечения параллельными плоскостями, при-чем одно из них проходит через центр шара. Расстояние между плоскостями равно 3, а площадь меньшего сечения равна 16Pi. Найдите площадь поверхности шара.
Высота прямой призмы АВСА1В1С1 равна 4. Основание призмы — треугольник АВС, в котором АВ = ВС, АС = 6, tgА = 0,5. Найдите тангенс угла между прямой А1В и плоскостью АСС1.
Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2sqrt(13), а диагональ боковой грани равна 13.

а) Постройте линейный угол двугранного угла между плоскостью С1АВ и плоскостью основания призмы.
б) Найдите величину этого угла.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, стороны основания которой равны 2, а боковые ребра 3, найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1

а) Постройте угол между прямой АС1 и плоскостью ВСС1.
б) Найдите косинус этого угла.
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. На ребре АА1 отмечена точка М так, что А1М:АМ = 1:3. Через точки М и В1 параллельно AD1 проведена плоскость Ω.

а) Докажите, что плоскость Ω проходит через вершину F1.

б) Найдите расстояние от точки А до плоскости Ω, если АВ=2, АА1=4.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ=7sqrt(3), а боковое ребро АА1=8.

а) Докажите, что плоскость ВСА1 перпендикулярна плоскости, проходящей через ребро АА1 и середину ребра В1С1.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями ВСА1 и ВВ1С1.
На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М — середина гипотенузы АВ, Н — точка пересечения прямых СМ и DK.

а) Докажите, что CM перпендикулярно DK .

б) Найдите МН, если известно, что катеты треугольника АВС равны 130 и 312.
Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания АВС.

а) Докажите, что высота пирамиды проведённая из точки А, делится плоскостью, проходящей через середины рёбер АВ, АС и SA, пополам.

б) Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если SA = sqrt(5) , АВ = АС = 5, ВС = 2sqrt(5).
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. O - точка пересечения A1D и AD1

а) Докажите, что плоскости OB1C1 и CEE1 перпендикулярны

б) Найдите расстояние между прямыми B1C1 и СE1, если известно, что АВ=1, АА1=3.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 5, а боковые рёбра равны 11.

а) Докажите, что прямые СA1 и C1D1 перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины С, A1 и F1.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре DD1 так, что DM:D1M=1:2. Плоскость, проходящая через точки А и М параллельно BD1, пересекает ребро CD в точке Р.

а) Докажите, что CP=DP.

б) Найдите расстояние от точки D1 до плоскости АМР, если известно, что АВ=12, ВС=9, АА1=36.
В правильной треугольной пирамиде РАВС боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра РА отмечена точка М так, что МА:МР=9:16.

а) Докажите, что плоскости РВС и МВС перпендикулярны.
б) Найдите объем пирамиды МАВС.
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с диагоналями АС = 8 и BD = 6. Боковое ребро ВВ1 равно 12. На ребре ВВ1 отмечена точка М так, что ВМ:В1М=1:7.

а) Докажите, что прямая MD перпендикулярна плоскости АСD1.
б) Найдите объем пирамиды МАСD1.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ=АА1=6, ВС=4. Точка Р - середина ребра АВ, точка М лежит на ребре DD1 так, что DM:D1D=2:3.

а) Докажите, что прямая BD1 параллельна плоскости МРС.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью МРС.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре SC отмечена точка М так, что SM:MC=7:18.

а) Докажите, что плоскости SBC и АВМ перпендикулярны.

б) Найдите объем меньшей части пирамиды SABC, на которые ее разбивает плоскость АВМ.
Радиус основания конуса равен 6, а высота конуса равна 8. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду окружности основания, длина которой равна 4.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середину этой хорды и высоту конуса, перпендикулярна этой хорде.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3. На ребре В1С1 отмечена точка L так, что B1L=1. Точки К и М - середины ребер АВ и А1С1 соответственно. Плоскость у параллельна прямой АС и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости у

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой - точка М, а основание - сечение данной призмы плоскостью у.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка Р - середина ребра А1В1, точка М - середина ребра А1С1.

А) Докажите, что сечение призмы плоскостью ВРМ проходит через точку С.

Б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость ВРМ разбивает данную призму, если известно, что АВ=6, АА1=4.
В правильной треугольной пирамиде SАВС точки К, N принадлежат ребру SA, точка М – ребру SВ, а L принадлежит ребру SC, причём АК= КN=NS, SM : МВ = 1:3, SL:LC= 2:1.

а) Докажите, что перпендикуляр МН, опущенный на апофему боковой грани ASC делит ее в отношении 1:5, считая от вершины S.

б) Найдите отношение объёма пирамиды KLMN к объёму пирамиды SАВС.
Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.
а) Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центра основания.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.
Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между этими хордами равно 2sqrt(197).

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.

б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Дана правильная призма АВСА1В1С1, у которой сторона основания АВ=4, а боковая сторона АА1=9. Точка М-середина ребра АС, а на ребре АА1 взята точка Т так, чт АТ=3.

А)Докажите, что плоскость ВВ1М делит отрезок С1Т пополам.
Б)Плоскость ВТС1 делит отрезок МВ1 на две части. Найдите длину большей из них.
А)Докажите, что в правильной треугольной призме АВСА1В1С1 прямая, проходящая через середины отрезков АА1 и ВС1, перпендикулярна этим отрезкам.
Б)1)Т-середина АА1, К-середина ВС1
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1.
В правильной треугольной пирамиде стороны основания равны 15, а боковые ребра равны 14. Около пирамиды описана сфера.

А)Докажите, что центр сферы лежит на высоте пирамиды.
Б)Найдите расстояние от центра сферы до плоскости основания.
В правильной треугольной пирамиде стороны основания равны 12, а боковые ребра равны 13. Около пирамиды описана сфера.

А)Докажите, что центр сферы лежит на высоте пирамиды.
Б)Найдите расстояние от центра сферы до плоскости основания.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 5, боковые ребра равны 15, точка D-середина ребра CC1.

а) Пусть прямые BD и В1С1 пересекаются в точке Е. Докажите, что угол ЕА1B1– прямой.
б) Найдите угол между плоскостями А1В1С1 и BDA1.
Дан куб ABCDA1B1C1D1.

А) Докажите, что каждая из плоскостей BDA1 и B1D1C перпендикулярна прямой AC1.

Б) Найдите объем части куба, заключенной между плоскостями BDA1 и В1D1С, если известно, что отрезок диагонали AC1, заключенный между этими плоскостями, имеет длину sqrt(3)
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ=ВС, АС=16. На ребре BB1 выбрана точка F так что BF:B1F=3:5. Угол между плоскостями АА1С и AFC равен 45

а) Докажите, что расстояние между АВ и А1С1 равно боковому ребру призмы.

б) Найдите расстояние между АВ и А1С1, если FC=10
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 4, боковые ребра равны 7, точка D-середина ребра ВВ1.

а) Пусть прямые С1D и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что угол ЕАС – прямой.
б) Найдите угол между плоскостями АВС и АDС1.
В правильной треугольной пирамиде SABC точка Р - середина АВ, точка К - середина ВС. Через точки Р и К параллельно SB проведена плоскость Q.

А) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью Q является прямоугольником.

Б) Найдите расстояние от точки S до плоскости Q, если известно, что SC=5, AC=6.
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 4. Через точки A, C1 и середину T ребра A1B1 проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите объём пирамиды A1ATC1.
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC (AB=AC). Точка К - середина ребра B1C1.

А) Докажите, что прямая AB1 параллельна плоскости CKA1.

Б) Найдите расстояние от прямой AB1 до плоскости CKA1, если известно, что СВ=6, CA=5, CC1=12
Дана правильная пирамида SABC, у которой сторона основания AB=6, боковое ребро SA=9. Сечение пирамиды, параллельное ребрам АС и SB, является квадратом.

а)Докажите, что сечение делит ребра AS, CS, CB и AB в равном отношении.
б)Найдите угол между диагональю этого квадрата и плоскостью основания пирамиды.
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра AB равна 12sqrt(3), SC равно 13.

а) Докажите, что прямая, проходящая через середины ребер AS и ВС, пересекает высоту пирамиды.

б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N - середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием - сечение пирамиды SABC плоскостью α.
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E:EA=3:4. Точка T - середина ребра B1C1. Известно, что AB=9, AD=6, AA1=14.

А) В каком отношении плоскость ETD1 делит ребро BB1?
В) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1.
В кубе ABCDA1B1C1D1 на продолжении ребра BB1 отмечена точка P так, что PB:BB1=3:4. Через точки А и Р параллельно прямой BD1 проведена плоскость альфа.

А) Докажите, что плоскость альфа делит ребро DC в отношении 1:2.

Б) Найдите площадь сечения куба плоскостью альфа, если известно, что РВ=18.
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA1 равно 4sqrt(3). На ребрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причем AM = A1N = C1K = 1

а) Пусть L - точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL - квадрат

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK .
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 b BC=3. Длины боковых ребер пирамиды SA=sqrt(11), SB=3sqrt(3), SD=2sqrt(5).

а) Докажите, что SA-высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Ответ: проверить
В правильной треугольной пирамиде DABC со стороной основания АВ, равной 30, боковое ребро равно 20. Точки N и М делят рёбра DA и DB в отношении 2:1, считая от вершины D. Плоскость α, содержащая прямую MN, перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость а делит высоту СЕ основания в отношении 8:1, считая от точки С.

б) Найдите площадь сечения пирамиды DABC плоскостью α.
Радиус основания конуса равен 4, а высота конуса равна 3sqrt(2). В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду окружности основания, длина которой равна 4sqrt(2).

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середину этой хорды и высоту конуса, перпендикулярна этой хорде.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.
Дан куб ABCDA1B1C1D1

1) Докажите, что прямая B1D перпендикулярна плоскости A1BC1
2) Найдите угол между плоскостями AB1C1 и A1B1C
Точка E - середина ребра AA1 куба ABCDA1B1C1D1.

а) Докажите, что сечение куба плоскостью DEB1 является ромбом.
б) Найдите угол между прямыми DE и BD1.
Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD, у которой AD|| BC. На ребре SC выбрана точка К так, что CK:KS=2:5. Плоскость, проходящая через точки А,В и К, пересекает ребро SD в точке L. Известно, что объемы пирамид SABKL и SABCD относятся, как 95:189.

А) Постройте сечение пирамиды плоскостью АВК.
Б) Найдите отношение длин оснований трапеции ABCD
В пирамиде SABC известны длины ребер AB=AC=SB=SC=10; BC=SA=12. Точка K - середина ребра BC

1) Докажите, что плоскость SAK перпендикулярна плоскости ABC

2) Найдите расстояние между прямыми SA и BC
Все ребра правильной четырехугольной пирамиды FABCD с основанием ABCD равны 7. Точки P,Q,R лежат на ребрах FA, AB и ВС соответственно, причем FP=BR=4, AQ=3.

А) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру FD
Б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR
Ответ: проверить
Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер AB, АС и SA, отсекает от пирамиды SABC пирамиду, объём которой в 8 раз меньше объёма пирамиды SABC.

б) Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если SA = 2sqrt(5), AB = АС = 10, BC = 4sqrt(5) .
Ответ: проверить
В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 1, а бо­ко­вые ребра равны 2, най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми SB и AD.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=35, AD=12, CC1=21.

а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
Дана правильная треугольная призма АВСА1B1C1, все рёбра которой равны 4. Через точки A, C1 и середину T ребра A1В1 проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC
В кубе ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 5.

а) Постройте линейный угол двугранного угла между плоскостиями ABD и CAD1.

б) Найдите тангенс этого угла.
Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 4, а сторона основания равна 6. Около основания пирамиды описана окружность.
а) Докажите, что отношение длины этой окружности к стороне основания равно Pisqrt(2)
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса, основанием которого служит эта окружность, а вершина совпадает с вершиной пирамиды.
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E:EA=1/2, на ребре BB1 — точка F так, что B1F:FB=1/5, а точка Т — середина ребра B1C1. Известно, что AB=3, AD=6, AA1=18.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA1B1
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник со сторонами AB=12, BC=5. Боковые рёбра SA=3sqrt(3), SB=sqrt(171), SD=2sqrt(13).

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между SC и BD.
В единичном кубе ABCDA1B1C1D1

а) Опустите перпендикуляр из точки D на плоскость CAD1.
б) Найдите его длину.
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 6. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра AS, точка L лежит на ребре BC так, что BL:LC = 1:2.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S1LM — равнобокая трапеция.
б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.
Площадь основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 64, а площадь сечения пирамиды плоскостью SAC равна 32sqrt(3).

а) Докажите, что угол между плоскостью основания пирамиды и боковым ребром равен 60°.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
В кубе ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 5.

а) Постройте линейный угол двугранного угла между плоскости ми ABD и CAD1.

б) Найдите тангенс этого угла.
Все ребра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9. Основание О высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1. М - середина ребра SB, точка L лежит на ребре CD так, что CL:LD=7:2
а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM - равнобокая трапеция.
б)Вычислите длину средней линии этой трапеции.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра равны 1.

а) Постройте прямую пересечения плоскости ABB1 и плоскости, проходящей через точки C,C1 перпендикулярно плоскости ACC1.

б) Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1
В правильной треугольной пирамиде SABC со стороной основания BC = 12 и боковым ребром SB = 8 на рёбрах SB и SC взяты точки E и F соответственно, являющиеся серединами рёбер. Плоскость а, содержащая прямую EF, перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость а делит биссектрису АА1 основания пирамиды в отношении 5 : 1, считая от точки А.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью a.
Ответ: проверить
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 2sqrt(2/5).

а) Пусть О — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые ВО и LO перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Ответ: проверить
Точка Е — середина ребра AA1 куба ABCDA1B1C1D1.

а) Докажите, что сечение куба плоскостью DEB1 является ромбом.

б) Найдите угол между прямыми DE и BD1.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое рёбро вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину С, делит апофему грани ASB в отношении 1 : 2, считая от вершины S.

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину С, делит ребро SF, считая от вершины S.
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 3, точка М — середина ребра АС, точка О — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 2:1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что плоскость MSF перпендикулярна ребру АС.

б) Найдите угол между плоскостью MCF и плоскостью АВС.
Радиус основания конуса равен 6, а высота конуса равна 8. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду окружности основания, длина которой равна 4.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середину этой хорды и высоту конуса, перпендикулярна этой хорде.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AB=8sqrt(3) , а боковое ребро AA1=5

a) Найдите длину A1K, где K - середина ребра BC.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями BCA1 и BB1C1
В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекаются в точке N, а точка М лежит на ребре A1D1, причем A1M:MD1 = 1:4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: DD1CC1
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=6, AD=4, AA1=10. Точка F принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, F и C1.
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=sqrt(5) и BC=2.
Длины боковых ребер пирамиды SA=sqrt(7),SB=2sqrt(3),SD=sqrt(11).
а) Докажите, что SA – высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Ответ: проверить
В пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник ABC со стороной 2sqrt(3) , SA = SC = sqrt(33) , SB = 7 . Точка О — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.

а) Докажите, что точка О лежит вне треугольника ABC.

б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO.
Найдите угол АС1С прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, для которого АВ = 8, AD = 15, АА1 = 17. Ответ в градусах.
Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.
Через вершину правильной треугольной пирамиды и середины двух сторон основания проведено сечение. Найти площадь сечения и объём пирамиды, если известны стороны основания а и угол α между сечением и основанием пирамиды.
В цилиндре отрезок AB является диаметром нижнего основания и равен 10. Точка С лежит на окружности верхнего основания цилиндра и одновременно принадлежит осевому сечению цилиндра, перпендикулярного AB. Найти косинус угла между плоскостью (ABC) и плоскостью основания цилиндра, если BC=13.
Диаметр AN и хорда AB основания конуса соответственно равны 24 и 16, высота конуса sqrt(125). Найти тангенс угла между плоскостью основания конуса и плоскостью сечения конуса, проходящей через вершину конуса и хорду AB.
Ответ: проверить
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между BD и SA.
Найти угол между плоскостями (α) 2х+3y+6z-5=0; (β) 4x+4y+2z-7=0
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра AB=20sqrt(3), SC = 29. Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой AM, где М – точка пересечения медиан грани SBC.
Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 прямоугольник ABCD, в котором AB = 12, AD=корень из 31. Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 5.
В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2, а высота призмы равна sqrt(17). Точка E лежит на диагонали BD1, причем BE=2.
a) Постройте сечение призмы плоскостью A1C1E
б) Найдите угол наклона этой плоскости к плоскости ABC

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 12.Точка Р-середина ребра СВ.Точка К лежит на ребре СD так ,что KD:KC=1:2.Плоскость,проходящая через точки Р,К и А1 пересекают ребро DD1 в точке М.
а)Докажите ,что DM:D1M=1:4.
б)Найдите угол между плоскостями РКА1 и АВС
Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 64.
а) Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центра основания.
б) Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды, если площадь сечения пирамиды плоскостью SAC равна 64.
Ответ: проверить
Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.
а) Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центра основания.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.
Ответ: проверить
В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ — точка L. Известно, что CD = BE = LM = 4. Найдите угол между плоскостью основания и сечением пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D, L.
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 со стороной основания, равной 4, на ребре АА1 взята точка M так, что AM = 2, А1М = 5. На ребре ВВ1 взята точка К так, что ВК = 5, а В1К = 2. Найдите угол между плоскостями D1MK и CC1D1.
Ответ: проверить
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF проведена высота SO, М и N-середины отрезков ОС и SE соответственно. Найдите угол между прямой MN и плоскостью основания, если сторона основания 2, а боковое ребро 3.
В правильной треугольной пирамиде SABC, сторона основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3, точки М и N - середины ребер SC и АВ соответственно. Найдите угол между прямой MN и плоскостью основания пирамиды.
Угол А в основании прямой призмы АВСА1В1С1 прямой, АС = АВ =АА1 = 1. Найдите угол между прямой АВ1 и плоскостью ВВ1С.
Ответ: проверить
В правильной треугольной призме ABCDA1B1C1D1 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой ВС1.
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой AA1 и плоскостью BC1D.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD
Основание пирамиды SABC – равносторонний треугольник со стороной 1. Вершина S проецируется в точку A, и SA = 1. Найдите угол между прямыми AB и SC.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 4, высота - 10. Точки К и М -середины ребер АС и А1В1 соответственно. Найдите косинус угла между прямыми АС1 и КМ.
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с диагоналями AC=6 и BD=12. Высота призмы равна sqrt(15). Найдите угол между прямыми AB1 и D1C.
Ответ: проверить
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка D — середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, сторона которого равна 4sqrt(3) а угол ВАD равен 60 градусов. Найдите расстояние от точки А до прямой C1D1,если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.
Ответ: проверить
Точка E — середина ребра куба ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми AE и CA1.
Радиус основания конуса равен 5, а его высота равна 12. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 6. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, известны AB=1, AD=AA1=2. Найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1.
Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60°. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см^2. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен sqrt(3)/4. Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.
Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9, на окружности основания конуса выбраны точки А и Б, делящие окружность на 2 дуги, длины которых относятся как 1:3. Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.
Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. Ребро основания пирамиды равно sqrt(6), высота - sqrt(33). Найдите расстояние от середины ребра AD до прямой MT, где точки M и T - середины ребер CS и BC соответственно.
Высота SO правильной треугольной пирамиды SABC составляет 5/7 от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром
Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, BC=8. Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что BT:TM=1:3. Вычислите объём пирамиды MPTA.
Ответ: проверить
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно 8sqrt(3) а ребро основания равно 1. Точка D — середина ребра BB1. Найдите объём пятигранника ABCA1D.
Ответ: проверить
В правильной треугольной пирамиде МАВС с вершиной М высота равна 3, а боковые ребра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон АВ и АС параллельно прямой МА.
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно sqrt(5), а высота равна 1, вписана сфера.(Сфера касается всех граней пирамиды). Найдите площадь этой сферы
Радиус основания конуса равен 8, а его высота равна 15. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 14. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 6, а боковое ребро АА1=1. Точка F принадлежит ребру C1D1 и делит его в отношении 2:1, считая от вершины С1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки А, С и F
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.
Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара
Ответ: проверить
Плоскость a пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость B, параллельная плоскости a, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью a.
Ответ: проверить
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3, точка D - середина ребра СС1. Найдите расстояние от вершины С до плоскости ADB1
Точка Е - середина ребра DD1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми СЕ и АС1.
На ребре СС1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка Е так, что СЕ:ЕС1=1:2. Найдите угол между прямыми ВЕ и АС1.
Точка Е — середина ребра СС1 куба ABCDA1B1C1D1 . Найдите угол между прямыми BE и AD.
В правильной шестиугольник призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны 5, а боковые ребра равны 11, найдите расстояние от точки C до прямой A1F1.
Ответ: проверить
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра: AB=3, AD=2, AA1=5. Точка O принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1.
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку C и середину ребра MA параллельно прямой BD.
Ответ: проверить
Длина высоты SO правильной треугольной пирамиды SABC равна 1, а длины сторон основания ABC равны 2sqrt(6). Точки M и N - середины отрезков AC и AB. Вычислите радиус сферы, вписанной в пирамиду SAMN.
В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой FE1
В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой A1F1.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки S до прямой BF.
В единичном кубе A..D1 найдите расстояние от точки B до прямой DA1.
На продолжении ребра ST за точку Т правильной четырехугольной пирамиды SPQRT с вершиной S взята точка В так, что расстояние от этой точки до плоскости SPQ равно 9sqrt(7)/2. Найти длину отрезка ВТ, если QR = 12, SR = 10.
Ответ: проверить
В прямом параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1 основанием служит ромб со стороной, равной а, угол АВС=120. Через сторону ВС и вершину А1 проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 45. Найдите длину бокового ребра и площадь сечения.
Ребро куба равно корень из 6. Найдите расстояние между диагональю куба и диагональю любой из его граней.
Ответ: проверить
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB=sqrt(3), боковое ребро SA = sqrt(7). Найдите расстояние от вершины A до плоскости BCS.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра: AB=3, AD=2, AA1=5. Точка O принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1 .
Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и основанием цилиндра.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и DB1F1.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны 5, а боковые ребра равны 11, найдите расстояние от точки C до прямой A1F1.
Ответ: проверить
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона основания которой равна 2, диагональ боковой грани sqrt(5). Найти угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
Ответ: проверить
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой А1D1 и плоскостью, проходящей через точки A1, D и M—середину ребра СС1.
Основанием треугольной пирамиды является равнобедренный треугольник со сторонами: 2, sqrt(10), sqrt(10). Высота пирамиды равна 4, а все боковые ребра наклонены к основанию пирамиды под углом A. Найдите tgA.

Ответ: проверить
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S сторона основания равна 12, а боковое ребро наклонено к основанию под углом, квадрат тангенса которого равен 0,5. Найдите расстояние между ребрами АВ и SC.
Ответ: проверить
Точка М— середина стороны ВС основания ABC правильной призмы ABCAlBlC1. Боковое ребро призмы равно 2sqrt(6), а сторона основания равна 4sqrt(3). Найдите угол между прямой В1М и плоскостью боковой грани ABB1А1
Ответ: проверить
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
Ответ: проверить
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а двугранный угол при основании равен 45. Найдите объем пирамиды.
Online подготовка к ЕГЭ
Мы ВКонтакте
Немного рекламы