Линии первого порядка


Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых


В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Уравнение вида
Ax+By+C=0 (1)

называется общим уравнением прямой.

Угол альфа, определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:

k=tg альфа




Уравнение y=kx+b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

Если прямая задана общим уравнением

Ax+By+C=0


то ее угловой коэффициент определяется по формуле

k= -A/B


Уравнение y-y0=k(x-x0) является уравнением прямой, которая проходит через точку M0(x0, y0) и имеет угловой коэффициент k.

Если прямая проходит через точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), то ее угловой коэффициент определяется по формуле

k=(y2-y1)/(x2-x1)


Уравнение

(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1)


является уравнением прямой, проходящей через две точки M1(x1, y1), M2(x2, y2)


Если известны угловые коэффициенты k1 и k2 двух прямых, то один из углов φ между этими прямыми определяется по формуле

tgφ = (k2-k1)/(1+k1k2)


Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:

k1=k2


Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение

k1k2=-1, или k2=-1/k1



ЗАДАЧА 3692 Составить уравнение прямой, проходящей


Составить уравнение прямой, проходящей через точку С(-5; 4), зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми x+2y+1=0, x+2y-1=0, равна 5. Смотреть решение...


Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнение двух и трех прямых. Уравнение прямой в отрезках



Если в общем уравнении прямой

Ax+By+C=0 (1)


один или два из трех коэффициентов (считая и свободный член) обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:

1). С=0; уравнение имеет вид Ax+By=0 и определяет прямую, проходящую через начало координат.

2). В=0 (А ≠ 0); уравнение имеет вид Ax+C=0 и определяет прямую, перпендикулярную к оси Ох. Это уравнение может быть записано в виде х=а, где a=-C/A является величиной отрезка, который отсекает прямая на оси Ох, считая от начала координат.

3). В=0, С=0 (А ≠ 0); уравнение может быть записано в виде х=0 и определяет ось ординат.

4). А=0 (В ≠ 0); уравнение имеет вид By+C=0 и определяет прямую, перпендикулярную к оси Оу. Это уравнение может быть записано в виде y=b, где b=-C/B является величиной отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

5). А=0, С=0 (В ≠ 0); уравнение может быть записано в виде у=0 и определяет ось абсцисс.

Если ни один из коэффициентов уравнения (1) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду

x/a + y/b = 1, (2)


где a=-C/A, b=-C/B суть величины отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях.

Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезках».

Если две прямые даны уравнениями

A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0,


то могут представиться три случая:


а). A1/A2 ≠ B1/B2 - прямые имеют одну общую точку;

б). A1/A2 = B1/B2 ≠ C1/C2 - прямые параллельны;

в). A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 - прямые сливаются, то есть оба уравнения определяют одну и ту же прямую.



ЗАДАЧА 3694 Определить, при каком значении a прямая


Определить, при каком значении a прямая :

(a+2)x+(a^2-9)y+3a^2-8a+5=0

1) Параллельна оси абсцисс;

2) Параллельна оси ординат;

3) Проходит через начало координат. Смотреть решение...



ЗАДАЧА 3693 Составить уравнение прямой, которая


Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С(1; 1) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равно 2. Смотреть решение...


Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой



Пусть на плоскости хОу дана прямая. Проведем через начало координат перпендикуляр к данной прямой и назовем его нормалью. Обозначим через Р точку пересечения нормали с данной прямой и установим положительное направление нормали от точки О к точке Р.

Если альфа - полярный угол нормали, р - длина отрезка OP(рис.), то уравнение данной прямой может быть записано в виде

xcosa + ysina - p = 0


уравнение этого вида называется нормальным.



Пусть дана какая-нибудь прямая и произвольная точка M*; обозначим через d расстояние от точки М* до данной прямой. Отклонением δ точки M* от прямой называется число +d, если данная точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и -d, если данная точка и начало координат расположены по одну сторону от данной прямой. (Для точек, лежащих на самой прямой, δ=0). Если даны координаты x*, y* точки M* и нормальное уравнение прямой xcosa + ysina - p = 0, то отклонение δ точки M* от этой прямой может быть вычислено по формуле

δ=x*cosa + y*sina - p


Таким образом, чтобы найти отклонение какой-нибудь точки M* от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки M*. Полученное число будет равно искомому отклонению.

Чтобы найти расстояние d от точки до прямой, достаточно вычислить отклонение и взять его модуль: d=|δ|.

Если дано общее уравнение прямой Ax+By+C=0, то, чтобы привести его к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель μ, определяемый формулой

μ = 1/sqrt(A^2 + B^2)


Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.


ЗАДАЧА 3695 Последовательные вершины


Последовательные вершины четырехугольника ABCD точки A(-1; 6), B(-1; -4), C(7; -1), D(2; 9). Установить, является ли этот четырехугольник выпуклым. Смотреть решение...


Уравнение пучка прямых



Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку S, называется пучком прямых с центром в S.

Если A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0 - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке S, то уравнение

альфа(A1x+B1y+C1) + бета(A2x+B2y+C2)=0, (1)


где альфа, бета - какие угодно числа, не равные одновременно нулю, определяет прямую, также проходящую через точку S.

Более того, в уравнении (1) числа альфа, бета всегда возможно подобрать так, чтобы оно определило любую (заранее назначенную) прямую, проходящую через точку S, иначе говоря, любую прямую пучка с центром S. Поэтому уравнение вида (1) называется уравнением пучка (с центром в S).

Если альфа ≠ 0, то, деля обе части уравнения (1) на альфа и полагая бета/альфа = лямбда, получим

A1x+B1y+C1 + лямбда(A2x+B2y+C2) = 0, (2)


Этим уравнением можно определить любую прямую пучка с центром S, кроме той, которая соответствует альфа=0, то есть кроме прямой

A2x+B2y+C2=0



ЗАДАЧА 3696 Найти уравнение прямой, принадлежащей


Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых альфа(x+2y-5)+бета(3x-2y+1)=0 и

1) Проходящей через точку А(3; -1);

2) Проходящей через начало координат;

3) Параллельной оси Ox;

4) Параллельной оси Oy;

5) Параллельной прямой 4x+3y+5=0; Смотреть решение...


Полярное уравнение прямой



Прямая, проведенная через полюс перпендикулярно к данной прямой, называется ее нормалью. Обозначим буквой Р точку, в которой нормаль пересекает прямую; установим на нормали положительное направление от точки О к точке Р. Угол, на который нужно повернуть полярную ось до наложения ее на отрезок OP, будем называть полярным углом нормали.


ЗАДАЧА 3697 Вывести полярное уравнение прямой, зная


Вывести полярное уравнение прямой, зная ее расстояние от полюса p и полярный угол нормали альфа Смотреть решение...

slava191
513

Написать комментарий

Читайте также:

Некоторые теоремы о треугольнике

Теорема Чевы. Теорема Менелая. Теорема Стюарта

Как найти координаты центра тяжести треугольника?

В этой статье и разберу как нарисовать центр тяжести треугольника и найти его координаты.
Не можешь решить?
ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ
Мы ВКонтакте