Уравнение линии


Функция двух переменных


Если указано правило, согласно которому с каждой точкой М плоскости (или какой-нибудь части плоскости) сопоставляется некоторое число u, то говорят, что на плоскости (или на части плоскости) «задана функция точки»; задание функции символически выражается равенством вида u=f(M). Число u, сопоставляемое с точкой М, называется значением данной функции в точке М. Например, если А - фиксированная точка плоскости, М - произвольная точка, то расстояние от А до М есть функция точки М. В данном случае f(m)=AM.

Пусть дана некоторая функция u=f(M) и вместе с тем введена система координат. Тогда произвольная точка М определяется координатами x, y. Соответственно этому и значение данной функции в точке М определяется координатами x, y, или, как еще говорят, u=f(M) есть функция двух переменных x и y. Функция двух переменных x и y обозначается символом f(x; y): если f(M)=f(x;y), то формула u=f(x; y) называется выражением данной функции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем примере f(M)=AM; если ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке А, то получим выражение этой функции:

u=sqrt(x^2 + y^2)



ЗАДАЧА 3688 Дана функция f (x, y)=x^2–y^2–16.


Дана функция f (x, y)=x^2–y^2–16. Определить выражение этой функции в новой системе координат, если координатные оси повернуты на угол –45 градусов. Смотреть решение...


Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения


Равенство вида F(x; y)=0 называется уравнением с двумя переменными x, y, если оно справедливо не для всяких пар чисел x, y. Говорят, что два числа x=x0, y=y0 удовлетворяют некоторому уравнению вида F(x, y)=0, если при подстановке этих чисел вместо переменных x и y в уравнение его левая часть обращается в нуль.

Уравнением данной линии (в назначенной системе координат) называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.

В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии F(x; y)=0» мы часто будем говорить короче: «дана линия F(x; y)=0».

Если даны уравнения двух линий F(x,y)=0 и Ф(x, y)=0, то совместное решение системы F(x,y)=0, Ф(x, y)=0 дает все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел, являющаяся совместным решением этой системы, определяет одну из точек пересечения.


ЗАДАЧА 3689 Даны линии. Определить, какие из них


Даны линии. Определить, какие из них проходят через начало координат.
1) x+y=0;
2) x-y=0;
3) x^2+y^2-36=0;
4) x^2+y^2-2x+y=0;
5) x^2+y^2+4x-6y-1=0. Смотреть решение...


Параметрические уравнения линии


Обозначим буквами х и у координаты некоторой точки М; рассмотрим две функции аргумента t:

x=φ(t), y=ψ(t) (1)


При изменении t величины х и у будут, вообще говоря, меняться, следовательно, точка М будет перемещаться. Равенства (1) называются параметрическими уравнениями линии, которая является траекторией точки М; аргумент t носит название параметра. Если из равенств (1) можно исключить параметр t, то получим уравнение траектории точки М в виде

F(x, y)=0



ЗАДАЧА 3690 Стержень АВ скользит своими концами А и


Стержень АВ скользит своими концами А и В по координатным осям. Точка М делит стержень на две части АМ=а и ВМ=b. Вывести параметрические уравнения траектории точки М, приняв в качестве параметра угол t = угол OBA (см. рис). Исключить затем параметр t и найти уравнение траектории точки М в виде А(x, y)=0. Смотреть решение...



ЗАДАЧА 3691 Траекторией точки М является гипербола,


Траекторией точки М является гипербола, уравнение которой x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1. Вывести параметрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t угол наклона отрезка ОМ к оси Ох. Смотреть решение...

slava191
471

Написать комментарий

Читайте также:

Некоторые теоремы о треугольнике

Теорема Чевы. Теорема Менелая. Теорема Стюарта

Как найти координаты центра тяжести треугольника?

В этой статье и разберу как нарисовать центр тяжести треугольника и найти его координаты.
Не можешь решить?
ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ
Мы ВКонтакте