Онлайн-этап олимпиады «Физтех» по Математике 2017 года 11 класс

Предлагаю всем принять участие в обсуждении задач онлайн этапа олимпиады ФизТех по Математике 2017. Авторам лучших решений полагается крупная сумма баллов. Обратите внимание, что это лишь заочный этап, предназначенный для отбора на основной. Рассматривайте это как отличную возможность потренироваться, поделиться знаниями с другими и подтянуть свои.

Рекомендую

Лучшая онлайн подготовка к любой олимпиаде. Видеоуроки от лучших преподавателей страны. Готовься здесь.

Делимость

Найдите наименьшее натуральное a такое, что выражение a(a+16)(a+32)(a+48)(a+64) делится на 10^7. Задача находится здесь.


Произведение корней

Известно, что для положительных чисел a, b, c каждое из трех уравнений ax^2+10bx+c=0 bx^2+10cx+a=0 cx^2+10ax+b=0 имеет хотя бы один действительный корень. Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно 7? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня). Задача находится здесь.


Геометрическая прогрессия

Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Оказалось, что произведение первых шести её членов равно 20^(732). Найдите количество таких прогрессий. Задача находится здесь.


Наибольшее значение

Пусть (25cos^2x-29+40sinx)/(36-25sin^2x+30cosx)=6. Какое наибольшее значение может принимать 3sinx? Задача находится здесь.


Площадь квадрата

Даны парабола y=10x^2 и прямая y=x-0.2 . Какую наибольшую площадь может иметь квадрат, две вершины которого лежат на параболе, а две другие – на этой прямой? Задача находится здесь.


Касающиеся окружности

Две окружности ω и Ω радиусов R=13.25 и r=9 касаются внутренним образом. Хорда AB окружности Ω касается окружности ω в точке C. Найдите длину хорды AB, если известно, что AC:BC=1:2. Задача находится здесь.


Неравенство с параметром

Найдите наименьшее значение параметра p, для которого при всех 0 меньше или равно x меньше или равно 1, 0 меньше или равно y меньше или равно 3, 0 меньше или равно z меньше или равно 4 выполняется неравенство xyz+p больше или равно 15x+4y+3z? Задача находится здесь.


Наибольшее значение синуса

Какое наибольшее значение может принимать модуль синуса суммы углов, удовлетворяющих системе уравнений: {tgx = (20/9)cosy {tgy = (20/9)cosz {tgz = (20/9)cosx Задача находится здесь.


Пирамида

Треугольная пирамида SABC (S – вершина) обладает следующими свойствами: 1) длины проекций боковых ребер на плоскости боковых граней, не содержащих эти ребра (то есть проекция ребра SA на плоскость грани SBC, и так далее) – равны между собой; 2) длины проекций боковых ребер на плоскость основания пирамиды также равны между собой. Известно, что cosASB = -4/5, AB = 2. Найдите сумму периметров оснований всех пирамид, обладающих указанными свойствами. Задача находится здесь.


Замыкание городов

В некотором государстве 30 городов. Каждая пара городов соединена авиарейсом одной из двух авиакомпаний. Оказалось, что из каждого города выходит ровно 10 авиарейсов первой авиакомпании. Назовем тройку городов A, B, C замкнутой, если все три авиарейса AB, BC, CA осуществляются одной авиакомпанией. Каково наибольшее возможное количество замкнутых троек городов может быть в этом государстве? Задача находится здесь.

slava191
4219

Написать комментарий

Читайте также:

Тригонометрия, или как решать задания 13 единого государственного экзамена по математике. Часть II.

Математика ЕГЭ задача 13.

Неравенства с модулем

Неравенства вида |f(x)| < g(x), |f(x)| > g(x), |f(x)| < |g(x)|
Не можешь решить?
ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ
Мы ВКонтакте